திரவ ஓட்டத்தில் அமளிக்கு காரணம் விஸ்காசிட்டி, அதாவது பாகுநிலையின் வீரியத்தில் உள்ளது என்றும், அமளி ஓட்டம் என்பது பல சைஸ் சுழல்களால் ஆனது என்றும் மூன்றாவது பாகத்தில் பார்த்தோம். பல சைஸ்களில் ஓடும் சுழல்களின் ஊடே திரவ ஓட்டத்தின் இயக்க ஆற்றல் பெரியசுழலில் இருந்து சிறியவைகளுக்கு தொடர்ந்து மாற்றலாகி, இறுதியில் மாலிக்கியூலர் லெவலில் அளக்கமுடியாத வெப்பமாக மாறி விரயமாகிவிடுகிறது. அமளியாக ஓட்டம் இருப்பதற்கு அதனால் நாம் தொடர்ந்து ஆற்றலை ஊட்டிக்கொண்டே இருக்கவேண்டும், குழாயாக இருந்தால், மோட்டார் பம்பின் மூலம்.

சரி, இவ்வாறு தொட்ட இடத்திலெல்லாம் மாறிக்கொண்டே இருக்கும் வேகங்களை கொண்ட அமளிஓட்டத்தை எப்படி அறுதி இடுவது? இந்த வேகங்களை அளக்க முடியாதா? இதை வைத்து அமளி எங்கு எப்படி நிகழும் என்று அறியமுடியாதா? இயற்கையை புரிந்துகொள்ள இயற்பியல் துறையில் பிற இடங்களில் அணுகுவதைபோல கணித-மாதிரிகளை கொண்டு இந்த அமளியை விளக்க, அனுமானிக்க, கட்டுப்படுத்த முடியாதா? அனைத்து கேள்விகளுக்கும் பதில், ஓரளவு முடியும் என்பதே.

இதில் இளக்காரம் இல்லை.

இயற்கையிடம் என்றுமே நாம் தோற்றுக்கொண்டுதானிருக்கிறோம். பெறும் வெற்றியெல்லாம், இயற்கையாய் பார்த்து, சில தருணங்களில் தன்னை மனிதனே புரிந்துகொள்ளக்கூடிய எளிமையான விஷயங்களாக வெளிப்படுத்திக்கொண்டு அருளியதே. ஒரளவு முடிந்த இவ்வகை புரிதலால்தான் விமானங்களை உடலிலும், இறக்கையிலும், அமளியை கட்டுப்படுத்தி உபயோகிக்கும்படி வடிவமைத்து பறக்கவிட்டுள்ளோம். அதிவேக ஜெட்விமானத்திலும் எரிபொருள் மிச்சம்பிடிக்க. யேரோடினமிக் டிசைனர் மூக்கும் உடலும் கொண்ட கார்கள், 150 மைல் வேகத்தில் ஜெர்மனி ஆட்டோபானிலும், இரவில் சென்னை அண்ணா சாலையிலும் பறக்கையில் அமளியை கட்டுப்பாட்டிற்குள் வைத்திருக்கிறது. சென்ற பாகத்தில் விவரிக்கப்பட்ட ஹேர்டிரையரும் இவ்வகையில் அமளி பற்றி ஒரளவு புரிந்ததால்தான், வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

சரி, அப்புறம் என்ன ஒரளவு மட்டும்? ஏன் ஓரளவு மட்டுமே புரிகிறது? பார்ப்போம். இதற்கு முதலில் திடப்பொருளில் (solid) இருந்து திரவங்கள் எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதில் தொடங்குவோம். கலங்காதீர்கள், மொத்தமாக பள்ளிப் பாடம் நடத்தப்போவதில்லை. அமளி ஓட்டத்தை விளக்கத் தேவையான மாற்றங்களை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்ளுவோம்.

விசைகொண்டு முடுக்கி செலுத்தப்பட்ட ஒரு கனமான திடப்பொருள் எவ்வாறு பயணிக்கும் என்று எப்போதும் பலிப்பதுபோல் ஜோஸ்யம் சொல்வது நியூட்டனின் இயக்க விதிகள் என்று தெரியும். அந்த விதிகளை வைத்துக்கொண்டு திடப்பொருள் ஒரு முடுக்கத்தில் (acceleration) எவ்வளவு தூரம் போகும் என்பதை அனுமானிக்க முடியும். திடப்பொருள் ஒரு திசையில் மொத்தமாக ஒரு வேகத்தில்தான் செல்லும். அளப்பது சுலபம்.

அரைச்செங்கலை எடுத்து ரோட்டில் ஒருவரை குறிபார்த்து அடிக்கையில், செங்கல் மொத்தமும் ஒரே எறிந்த திசையில் பயணித்து, மற்றொருவர் மேல் படுகிறதே. அந்த பயண தூரத்தை கணக்கிடுவதற்கு நியூட்டனின் இயக்க விதிகளை பொருத்துவது சுலபம். ஏனெனில் செங்கல் வேகம் வேண்டுமெனில், மொத்த செங்கலுக்கும் ஒரே மதிப்புதான்.

அதைப்போல, பல்சார் பைக் மணிக்கு நூத்தியிருவது கிலோமீட்டரில் பறந்து எச்சுமி பாட்டிமேல் மோதி நொறுங்கியது, பாட்டி நலம் என்று படிக்கிறோமே. அச்செய்தியில் வரும் வேக அளவு பைக் மொத்தத்திற்கும் ஒன்றுதான். ஆனால் இதேபோல திரவங்களில் அளப்பது கடினம். இல்லையேல் எச்சுமி பாட்டி பதிலுக்கு பைக் ஓட்டியின் மீது காரித் துப்பிய எச்சிலின் வேகம் என்ன என்றும் படித்திருப்போம்.

ஓடுகையில் திரவங்கள் மேனிமுழுவதும் பல இடங்களில் பல வேகத்தில் அலைபாயும். எல்லா இடத்திலும் வேகத்தை அளந்து ஒரு வேக விநியோகத்தை முதலில் கணக்கிடவேண்டும். பிறகு அளந்ததையெல்லாம் முடுக்கத்துடனும் உந்துவிசையுடனும் (driving force) தொடர்புசெய்து திரவம் எவ்வாறு எத்திசையில் செல்லும் என்று துல்லியமாக அனுமானிக்க வேண்டும். கடினம். சுமாராக செய்யலாம். ஆனால் இதற்கும் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிதான் பயன்படும். என்ன, திரவத்தின் எல்லா பகுதியிலும் பிரயோகிக்கவேண்டும். இப்படி முப்பரிமாணத்திலும் திருந்திய ரூபத்தில் திரவங்களுக்கு ஏதுவாக நியூட்டனின் விதியை சொல்லியவர்கள் நேவியர் (Navier) மற்றும் ஸ்டோக்ஸ் (Stokes) ஆவர். முப்பரிமாணத்தில் பார்ஷியல் டிஃபெரன்ஷியல் ஈக்குவேஷன் என்பார்களே, அப்படிப்பட்ட இருபடிய பகுதிய நுண்பகுப்பு சமன்பாடு. பூச்சி பூச்சியாக ஈக்குவேஷனெல்லாம் போட்டால் படிப்பீர்களோ? நிச்சயம் படிப்பீர்கள்.

திரவங்களின் ஓட்டத்தை புரிந்துகொள்ள பயன்படும், நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படும், நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி இப்படி இருக்கும்

தமிழில் விளக்குவோம். P என்றால் பிரஷர், அழுத்தம்; U என்றால் வேகம்; x என்றால் திசை-இடக்குறி; t என்றால் நேரம்; மிச்சம் உள்ள i மற்றும் j திசைகளையும், அவற்றில் வேகங்களையும் குறிப்பிடுவதற்கு இருக்கும் லேபில்கள். சரி, சமன்பாட்டில் அனைவருக்கும் புரிந்ததில் தொடங்குவோம். நடுவில் சமன் குறி இருக்கிறது பாருங்கள், அதற்கு இடப்புறம் இரண்டு டெர்ம்களும் (terms), வலப்புறம் இரண்டு டெர்ம்களும் இருக்கிறது. சமன் குறியின் இரண்டு பக்கத்தில் இருக்கும் டெர்ம்ஸ்களையும் தராசின் இரண்டு தட்டுக்களில் பகிர்ந்து வைத்தால், தராசின் முள் சாயாமல் நடுவில் நிற்கும். மேலே சமன்பாட்டில், சமன்குறி அதைத்தான் குறிப்பிடுகிறது.

அடுத்து, திடப்பொருளுக்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி பார்ப்பதற்கு F = m x a என்று சிம்பிளாக இருக்கும். நமக்கு பள்ளிப்பாடத்திலேயே தெரியும். அதைப்போல, திரவங்களுக்கு, மேலே சமன்பாட்டில், மூன்றாவது டெர்ம்தான் F, முதல் இரண்டு டெர்ம்களும் சேர்ந்து m x a. ஏற்கனவே குறிப்பிட்டபடி திரவங்களில் பகுதிகளும் வெவ்வேறு வேகங்களில் செல்லமுடிவதினால், அதன் முடுக்கம் (ஆக்சிலரேஷன்), வேகத்தை நேரத்தால் வகுப்பதால் மட்டும் (முதல் டெர்ம் – திடப்பொருளுக்கும் பொருந்துவது) வரும் விளைவாக இல்லாமல், வேகத்தின் இட மாற்றத்தையும் (இரண்டாவது டெர்ம்) கணக்கில் கொண்டு வருகிறது (திடப்பொருளில் இந்த மாற்றம் கிடையாது).

சரி, அப்ப கடைசி (நான்காவது) டெர்ம் என்ன செய்கிறது?  அதில்தான் பாகுநிலை இருக்கிறது. திடப்பொருளுக்கு ஒரு பரப்பின் மீது பயணிக்கையில் உராய்வு விசையை கணக்கிடுவோமே, அதுபோல பாகுநிலை டெர்ம் திரவங்களுக்கு செயல்படுகிறது. இந்த உராய்வு திரவத்திற்கும் சுற்றியுள்ள சுவருக்கும் (குழாய்களில், உட்சுவர்) ஏற்படுவது.

ஒரு குழாயினுள் திரவம் ஓடுகிறது என்றால், திடப்பொருளுக்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிபோல, மேலே சமன்பாட்டில், மூன்றாவது டெர்மின் மதிப்பும், மற்ற மூன்று டெர்ம்களின் கூட்டுத்தொகையும் மதிப்பில் ஒன்றாகவும், பிளஸ் மைனஸ் குறியில் எதிராகவும் இருக்கிறது என்று பொருள்.

அவ்ளோதாங்க நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடு. இப்போதைக்கு இந்த விளக்கம் போதும்.

திரவங்களுக்கு பாகுநிலையே இல்லை என்றால், உராய்வே இல்லாத பயணம். பாகுநிலையற்ற, உராய்வற்ற, திரவங்களுக்கு குழாயினுள் செல்ல பம்புசெட்டில் மோட்டாருக்கு கரண்ட் தேவையில்லை. நிஜத்தில் அனைத்து திரவங்களுக்கும் பாகுநிலை உண்டு. அமளியினால் கரண்ட் பில் எகிறும்.

சீரோட்டம் போன்ற எளிதான திரவ ஓட்ட தருணங்களுக்கு இந்த கால்குலஸ் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இருக்கிறது. தீர்வு என்றால், இந்த விசை கொடுத்தால் திரவம் இந்த திசையில் இப்படித்தான் ஓடும் என்ற கணக்கிட முடியும். உதாரணத்திற்கு வட்டமான குறுக்குவெட்டு குழாயில் பரவளையம் (Parabola) போன்ற வேக விநியோகத்தில் செல்லும் என்பது நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டின் ஒரு வகை தீர்வே. ஏற்கனவே படத்துடன் விளக்கியபடி, சீரோட்டத்திற்கு மட்டும் பொருந்தும். மீண்டும் கீழே படத்தில் விளக்கத்தை பார்த்துக்கொள்ளுங்கள்.

ஆனால் அமளி ஓட்டத்தையும் அனுமானிக்கும் விதமாக இந்த நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டிற்கு சகலவிதங்களிலும் பொதுவான ஒரு விடை, தீர்வு, இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. இதைத்தான் அமளி (டர்புலன்ஸ்) இன்னும் விடைகாண முடியாத விஷயம் என்று அறிவியலார்கள் கூறுகிறார்கள். மில்லிணியம் ப்ராப்ளம்களில் இதுவும் ஒன்று. யாரேனும் நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வு கண்டுபிடித்தால் மில்லியன் டாலர் பணக்காரராவதுடன், விஞ்ஞான உலகில் நித்யசூரியாவது நிச்சயம். இப்படி முயன்று பணக்காரராவதற்கு லாட்டரிசீட்டு வாங்கியே ஏழையாகலாம் என்பது என் அபிப்ராயம்.

தொடர்வோம்

திரவங்கள், பாய்மங்களின் டர்புலன்ஸ் என்றால் இக்கட்டுரைத்தொடரில் அமளி என்று வைத்துள்ளோம். சில உதாரணங்களை ஏற்கனவே பார்த்தோம். லாமினர் அல்லது தகடொத்த ஓட்டம் எனும் திரவங்களின் சீரோட்டத்தில் இருந்து அமளி ஓட்டம் எவ்வகையில் மாறுபடுகிறது என்றும் பார்த்தோம்.தொடர்ச்சியாக, ஏன் அமளி ஓட்டத்தில் வேகம் எங்கு அளந்தாலும் ஒரு நிலையிலில்லாமல், ஏறியிறங்கிக்கொண்டே இருக்கும் என்று யோசிப்போம்.

அதற்கு முன் அமளியின் மற்றொரு தினவாழ்க்கை உதாரணம். ஹேர் டிரையர்.

குளித்ததும் வலைத்துண்டினால் துவட்டினால் சரியாக ஈரம் காய்வதில்லை என்றோ அல்லது முடி கொட்டிவிடுமோ என்றோ, விடுத்து, அப்படி ஸ்டைலாய் கண்ணாடியில் பார்த்தபடி தலைமுடியை ஒருகையால் கோதிக்கொண்டே ஹேர்டிரையர் கொண்டு காயவைப்போமே. அந்த ஹேர் டிரையர் என்ன செய்கிறது? காற்றை உள்ளிழுத்து, நொடியில் ஓரளவு சூடாக்கி, நம் முடிமீது செலுத்துகிறது. சூடான வெப்ப-சலன முடைய அமளி ஓட்டமாக. ஆங்கிலத்தில் டர்புலண்ட் ஃபோர்ஸுடு கன்வெக்‌ஷன் என்பார்கள். அமளியினால் தாறுமாறாக முடிகளை ஊடுருவி இந்த சூடான காற்று செல்லுகையில், ஈரத்தை சூடாக்கி, ஆவியாக்கி, தன்னுடன் சிறு சிறு நீராவித் துகள்களாக இழுத்துச்செல்கிறது. ஒரு சில நிமிடங்களில் தலை காய்ந்துவிடுகிறது.

ஹேர் டிரையரின் விசிறியின் விசையை குறைத்தோமேயானால், உள்ளிழுக்கப்பட்ட காற்று அளவும், வேகமும் கம்மியாகிவிடும். ஹீட்டர் அதே வோல்டேஜில் வேலை செய்வதால், சூடு அதிகமாகலாம். ஆனாலும் இவ்வகை அதிக சூடான ஆனால் குறைந்த வேகமுடைய காற்று தலைமுடிகளின் மேல் ஊடுருவுகையில் மெரும்பாலும் தலைமுடி ஈரம் காய அதிக நேரமே பிடிக்கும். கவனித்திருக்கலாம். ஏனெனில் டிரையரின் விசையை குறைக்கையில் காற்றின் அமளியின் வீரியத்தையும் குறைத்துவிடுகிறோம்.

விசிறி வேகம் அதிகமாகுகையில், டிரையர் உந்தி செலுத்தும் காற்று அமளி ஓட்டத்தினால் தாறுமாறாக ஒடுவதால், பல வேகங்களில் பயணிக்கும் காற்றின் பல  அ ங்கங்களை ஓர் இடத்தில் முடியின் மேல் பட வைக்க முடிகிறது. இதனால் சீக்கிரம் முடியின் ஈரத்தை உலர வைக்கிறது.

தொகுப்பாக கூறவேண்டுமெனில், அப்படியே வாயால் மெதுவாக ஊதி (முதலில் சற்று சூடான காற்று வரும்) முடியை காயவைப்பதற்காகும் நேரத்தையும், ஹேர்டிரையரின் முடுக்கிய விரைவு-உலர்தலுக்கும் வித்தியாசப்படுத்திக்கொள்ளுங்கள். நிலையிலில்லாமல் மாறிக்கொண்டே இருக்கும் வேகங்களை தோற்றுவிக்கும், அமளியின் ஒரு உபயோகத்தை உணரமுடியும்.

சரி, இப்போது ஏன் அமளி ஓட்டத்தில் வேகம் எங்கு அளந்தாலும் ஒரு நிலையிலில்லாமல் ஏறியிறங்கிக்கொண்டே இருக்கும் என்று கவனிப்போம்.

சுருக்கமான காரணம், திரவங்களின் பாகுபண்பினால் எனலாம். ஆங்கிலத்தில் விஸ்காஸிட்டி என்பார்கள். பாகு என்றால் வெல்லப்பாகு என்போமே அந்த பாகு. திரவம் எவ்வளவு கெட்டியாக இருக்கிறது என்பதை அளவையில் குறிப்பிடுவது இந்த விஸ்காஸிட்டி அல்லது பாகுபண்பு அல்லது பாகுநிலை.

இதில் இரண்டு வகை உள்ளது. டைனமிக் விஸ்காஸிட்டி மற்றும் கைனமாட்டிக் விஸ்காஸிட்டி. இயக்கப் பாகுபண்பு, இயங்குநிலை பாகுபண்பு என்று தமிழாக்கலாம். வித்தியாசப்படுத்த வேறு பரிச்சையமான வார்த்தைகள் கிரமமாகத் தெரிந்தால் கூறுங்கள், திருத்திவிடுகிறேன். டைனமிக் என்றால் விசை ஏற்படும் விளைவு பற்றிய விஷயம்.

பள்ளிப்படிப்பில், பரிசோதனையில், திரவங்களுக்கு நாம் சாதாரணமாக கண்டுணர்ந்து உபயோகிப்பது டைனமிக் பாகுநிலையையே. அன்றாட உபயோகத்தில் டைனமிக்கை கழட்டி, பாகுநிலை என்று மட்டும் விளிக்கிறோம். தேன் தண்ணீரைவிட பாகுபண்பு (மதிப்பில்) மிக்கது. தண்ணீர் காற்றைவிட; இப்படி.

திரவங்களின் (டைனமிக்) பாகுபண்பு அவை ஓடும்பொழுதே, அல்லது பாயும்பொழுதே, வெளிப்படுகிறது. டம்ளரில் சும்மா இருக்கையில் காப்பிக்கும் தேனுக்கும் பாகுபண்பு வித்தியாசம் பார்த்தால் தெரியாது. கவுத்து வாயில் கொட்டுகையிலேயே, திரவம் ஓடுகையிலேயே, பாகுபண்பின் வீரியம் புலப்படும். திரவங்களின் பாகுபண்பின் மதிப்பை கண்டுபிடிப்பதும் இவ்வகை பரிசோதனை மூலமே. இப்போதைக்கு இதை ஒத்திவைத்து அமளியை தொடருவதற்காக, கைனமாட்டிக் பாகுபண்பை கவனிப்போம்.

கைனமாட்டிக் என்றால் விசை தொடர்புகளை விடுத்து படிக்கும் விஷயம். டைனமிக்குடன் ரொம்ப குழப்பிக்கொள்ளாமல், இந்த இடத்தில் சுலபமாக மனதில் கொள்ள, டைனமிக் பாகுபண்பு அல்லது பாகுநிலையின் மதிப்பை திரவத்தின் அடர்த்தியை கொண்டு வகுத்தால் வருவது கைனமாட்டிக் பாகுபண்பு அல்லது பாகுநிலை. கைனமாட்டிக் பாகுநிலை மதிப்பில் தண்ணீர் காற்றை விட பத்து மடங்கு மதிப்பு கம்மி. இரண்டு திரவத்திற்கிடையே உள்ள ஆயிரம் மடங்கு அடர்த்தி வித்தியாசத்தினால்.

கைனமாட்டிக் பாகுபண்பின் திறனுக்கேற்ப (மதிப்பிற்கேற்ப) திரவங்கள் எந்த வேகத்தில் சீரோட்டத்திலிருந்து அமளி ஓட்டத்திற்கு மாறும் என்று நிர்ணயிக்க முடியும். உதாரணத்திற்கு நம் வீட்டு குழாயில் காற்றை விட தண்ணீர் ஓட்டம் பத்து மடங்கு குறைவான வேகத்திலேயே சீரோட்டத்திலிருந்து அமளி ஓட்டமாகிவிடும். ஏனெனில், ஜலத்திற்கு காற்றை விட கைனமாட்டிக் பாகுபண்பு பத்து மடங்கு குறைவு.

குழாயினுள் செல்கையில், சிறு சிறு அதிர்வுகளினால் சீரோட்டம் அமளி ஓட்டமாக மாற எத்தனிக்கும். பாகுபண்பு தன் வீரியம், திறனுக்கேற்ப, நிகழும் அதிர்வுகள் நீரோட்டத்தை பாதித்து அமளியோட்டமாகாமல், அயர்ன் பாக்ஸ் கொண்டு துணியின் சுருக்கங்களை நீக்கிவிடுவதுபோல, தடுத்துக்கொண்டே இருக்கும். ஒரு வேகத்திற்குமேல் அதிர்வுகளின் பாதிப்புகளை பாகுபண்பின் வீரியத்தினால் கட்டுப்படுத்த இயலாமல் ஓட்டம் அமளியாகிவிடும்.

அமளி ஓட்டத்தின் தன்மையை குணாதிசியங்களை புரிந்துகொள்வதற்கு அமளிச் சுழல் (எடி, eddy அல்லது வோர்ட்டைஸஸ், vortices) என்ற மாதிரியை (model) உபயோகிக்கிறார்கள். குழாயினுள்ளோ, வானத்திலோ, சூரியனிலோ, கடலிலோ, எந்த ஒரு அமளி ஓட்டம் சிறியதும் பெரியதுமாக பல சுழல்களினால் ஆனது எனலாம். இதில் கவனிக்கவேண்டியது, பெரிய சுழலினுள்ளும் சிறு சிறு சுழல்கள் இருக்கலாம். ஒரு பெரிய சுழலே இவ்வாறு சிறு சிறு சுழல்களால் ஆனது என கூறலாம். முற்றிலும் வளர்ந்த அமளி ஓட்டம் என்பது பல சைஸ், அளவுகளிலான, சுழல்கள் அடங்கியது. உதாரண படம் ஒன்றினை கீழே பாருங்கள்.

பரிசோதனை கூடத்தில் நீரோட்டத்தில் ஏற்கனவே தூவியுள்ள உறிஞ்சுஒளிவீச்சு (ஃப்ளூரசென்ஸ்) தன்மையுடைய துகள்களை லேசர் கொண்டு டார்ச் லைட்டு போல் அடித்து, அவை ஒளிருகையில் படம்பிடித்து இருகிறார்கள். கட்டுப்பாடான பரிசோதனையில், அமளியில் பல சைஸில் சுழல்கள் இருப்பதை இவ்வாறு நிருபணம் செய்து, சைஸ் வாரியாக ஓரளவு அளக்க முடியும்.

சுழல் விஷயத்தை புரிந்துகொள்ள நொங்கும் நுரையுமாய் ஆடிப்பெருக்கில் பெருக்கெடுத்து ஓடும் காவிரியில் ஏற்படும் பெரு சிறு சுழல்களை உதாரணமாகவும் மனதில் கொள்ளலாம். இதைத்தான் பல நூற்றாண்டுகள் முன்னர் லியனார்டோ டா வின்சி வீட்டுச்சாகடையில் வெளியேறூம் அமளி ஓட்டத்திலேயே கவனித்து, கலை-அறிவியல் ஓவியமாய் வரைந்து கொடுத்தார்.

அமளி ஓட்டத்தில் செயலாக்க இயக்க ஆற்றலை (kinetic energy) உருமாற்றி இவ்வகை சுழல்கள் புதிதாக உருவாகிக்கொண்டே இருக்கும். பெரிய சுழல்கள் உடைந்து பல சிறியனவாகி, மேலும் உடைந்து தக்குணுன்டாகி, இப்படியே போய் மாலிக்கியூல் லெவலில் மொத்த செயலாக்க-இயக்க ஆற்றலும் அளக்க முடியாத வெப்பமாக மாறிவிடும். டாவின்சியின் படம் இந்த செயல்பாட்டை விளக்குமாறு போடப்பட்டிருப்பது வியப்பு (கவனித்துப்பாருங்கள், படத்தில் பல சைஸில் சுழல்கள் இருப்பதை).

எவ்வாறு திரவ அமளி ஓட்டத்தில் ஆற்றல் இவ்வாறு வெவ்வேறு அளாவிலான  சுழல்களிடையே வழிந்தோடுகிறது என்ற விஷயத்தை சற்று விளக்கமாக பிறகு பார்ப்போம். இப்போதைக்கு ஆங்கில வானிலை ஆராய்சியாளர் லூயி ரிச்சர்ட்சன் (Lewis Richardson) இதையே புதுக்கவிதையாக்கி கூறியதை ரசிப்போம்.

Big whorls have little whorls,
Which feed on their velocity,
And little whorls have lesser whorls,
And so on to viscosity

என் தமிழாக்கம்

பெறு சுழல்கள் சிறு சுழல்களடக்கி

அவற்றின் வேகத்தை அபகரிக்கும்

சிறு சுழல்கள் சுருங்கிய சுழல்களடக்கி

தொடருமே பாகுநிலைவரை

திரவங்களின் அமளி ஓட்டத்தை கவனித்து, புரிந்துகொண்டு, பொறியியல் மற்றும் சமுதாய நலனுக்காக உபயோகப்படுத்துவது சில அறிவியலார்களின் வேலை. ஆனால் அமளி ஓட்டத்தை முழுவதும் புரிந்துகொள்வது கடினம். சென்ற நூற்றாண்டின் புகழ்பெற்ற விஞ்ஞானிகளான வெர்னர் ஹைசென்பெர்கும் (Werner Heisenberg), ஸர் ஹொரேஸ் லாம்பும் (Sir Horace Lamb) கடவுளிடம் தாங்கள் விடை கேட்கவிரும்பும் கேள்விகளில் திரவங்களின் அமளியை புரிந்துகொள்ள முடியுமா என்பதும் ஒன்று என்று கூறி, அதற்கு விடை ஒருக்கால் கடவுளுக்கு தெரிந்திருக்கலாம் என்று கையைவிரித்துள்ளனர். பல ஆச்சரியங்களும், கண்டுபிடிப்புகளும், தீர்மானிக்க முடியாத விஷயங்களும் அடங்கிய திரவங்களின் அமளி, டர்புலன்ஸ், அறிவியலார்களுக்கு ஒரு விளையாட்டரங்கம்.

அடுத்த பகுதியில் இன்னமும் அலசுவோம்.

டர்புலன்ஸ் என்றால் அமளி என்று, பெயர்க்காரணத்தை சென்ற பாகத்தில் கூறி, இவ்வறிமுக கட்டுரையில் வைத்துள்ளோம். அமளியின் உதாரணங்கள் சென்ற பாகத்தில் பார்த்தோம். டர்புலண்ட் ஃப்ளோ என்றால் திரவங்களின் அமளி ஓட்டம். மாறாக சீரோட்டம் அல்லது தகடொத்த திரவங்களின் ஓட்டமும் நிகழும்.

மேலே படத்தில் லியனார்டோ டா வின்சி கவனித்து வரைந்துள்ளது தினவாழ்வில் நாம் குழாயிலோ, கால்வாயிலோ பார்க்கும் தண்ணீரோட்டம்தான். அமளி ஓட்டம்.

தினவாழ்வில் குழாயினுள் தண்ணீர் மெதுவாக ஓடுகையில் தேமேனென்று சீராக அமைதியாக செல்லும். இதை அறிவியலார் ஒரு வழுவழு பலகையின் மேல் (அல்லது தகட்டின்மேல்) மற்றொன்று வழுக்கிக்கொண்டு செல்வதுபோல என்று மாதிரியாக வருணிக்கிறார்கள். லாமினர் ஃப்ளோ (laminar flow) என்று பெயர். கடையில் போட வைத்திருக்கும் பழைய பேப்பர் கட்டை, பிரிக்காமல், மேல் பகுதியில் கைவைத்து பக்கவாட்டில் தள்ளினால், ஒன்றன்மேல் ஒன்றாக சரியுமே, அதுபோல தண்ணீரின் லாமினர் சீரோட்டத்தையும் நினைத்துக்கொள்ளலாம்.

அமளியை தற்போதைய அறிவியல் புரிதலின்படி விளக்கவேண்டுமென்றால், இந்த சீரோட்டத்தை சற்று சரியாக புரிந்துகொள்ளவேண்டும். பிறகு இவ்வகை சீரோட்டம் அல்லாத பிறவோட்டம் அமளியாய் இருக்குமோ என்று கூற எத்தனிக்கலாம். பசுமாட்டை பற்றி படித்துக்கொண்டுபோய் பரிட்சையில் தென்னைமரத்தை பற்றிய கட்டுரைவரைக என்றால் செய்வோமே: பசுமாட்டை பற்றி நிறைய எழுதிவிட்டு, அதை கட்டிவைத்திருக்கும் இடம் தென்னைமரம் என்று. கிட்டத்தட்ட அதுபோல. முதலில் சீரோட்டம், சற்று விரிவாக்குவோம்.

வீட்டுக் குழாய் நீரோட்டத்தில் ஓடுவது நீர்தான். சுற்றியுள்ள குழாயில்லை. அதனால் நீர் ஓடும் திசையில் குழாயை ஒரு இடத்தில் குறுக்காக வெட்டி வெளிவரும் ஜெட்டுடைய வேகங்களை பக்க வாட்டில் பல இடங்களில் அளக்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்ளுவோம். இதை செய்ய நீரோட்டத்தின் சிறுபிரதேசங்களின் வேகத்தை அளப்பதற்கு பிட்டாட் ட்யூப் (Pitot tube) என்ற கருவியை பயன்படுத்துகிறார்கள்.

பிட்டாட் கருவி மூலம் அளந்த வேகங்களின் பிரதேச அளவுகள் சுவற்றிற்கு அருகில் குறைவாகவும் (சுவற்றில் பூஜ்ஜியம்) அச்சிற்கு அருகில் அதிகமாகவும் இருக்கும். நிற்கும் குழாயில் உள்சுவரை உராய்ந்தபடி அருகில் செல்லும் நீர்பகுதி மெதுவாகவும், ஆனால் சுவற்றிலிருந்து தள்ளி, அச்சிற்கருகில் குழாய் நடுவில் ஓடும் நீர்பகுதி வேகமாகவும் ஓடும் என்று எதிர்பார்கலாம். ஒரு இடத்தில், சுவற்றிற்கு அருகிலிருந்து அச்சுவரையில் அடுத்தடுத்து பக்கவாட்டில் பார்த்து அளந்த இவ்வேகங்களின் அளவுகளை ஒரு வளைவாக சேர்த்தோமேயானால், அது ஒரு பரவளையம், பாரபோலா (parabola) வடிவத்தில் இருக்கும். நீரோட்டம் சீரோட்டமாக (laminar flow) இருப்பின்.

நீரோடும் திசையில் இவ்வகை சீரோட்டத்தில் குழாயின் எந்த இடத்திலும் நீரின் வேக பக்கவாட்டு வடிவம் பாரபோலா தான். அதாவது இடம் ஒன்றில் சுவற்றிலிருந்து அச்சுவரை ஓடும் நீரின் பக்கவாட்டு வேக வடிவம் என்னவோ அதுவேதான் சற்று தள்ளி இடம் இரண்டிலும். மேலும் தள்ளி, இடம் மூன்றிலும் அதுவேதான். சீரோட்டத்தின் இத்தன்மையை முற்றிலும் வளர்ந்த வேக பக்க வடிவம் (fully developed velocity profile) என்று கூறுவார்கள். குழாய் நீரோட்டத்தின் பாரபோலா வடிவுடைய வேக பக்க வடிவம் கொண்ட சீரோட்டத்தின் தன்மையை முதலில் அறிந்து கூறியவர்கள் ஹேகன் (Hagen, 1839) மற்றும் பாஸ்யூஹ் (Poiseuille, 1841) ஆவர்.

சரி, இதனால் என்ன விளைவு?

இடம் ஒன்றிலிருந்து சற்று தள்ளி இடம் இரண்டு வரை குழாய் நீரின் அழுத்த குறைவின் (pressure drop) மதிப்பும், இடம் இரண்டிலிருந்து அதே தூரம் தள்ளி இடம் மூன்று வரை நடக்கும் அழுத்த குறைவின் மதிப்பும் ஒன்றாக இருக்கும். சரி, இதனால் என்ன? குழாயினுள் நீரை தருவிக்க பம்ப்செட் போட்டு அதற்கு கரண்ட் பில் கட்டுகையில், குறைவாக கட்டலாம். குழாயினுள் சீரோட்டமாக இருந்தால்.

ஆனால் தஞ்சாவூர் வயல்களில் பம்ப்செட்டில் இருந்து வெளிவரும் நீரோட்டம் அமளிஓட்டம். ஏனென்றால் வயல்களில் பாசனத்திற்கு சீரோட்ட வேகம் சரிவராது. நாள்கணக்கில் இரைக்க வேண்டும். வேகமாக இரைத்தால் சீக்கிரம் இரைக்கலாம். ஆனால் குழாயினில் வரும் நீரோட்டம் அமளி ஓட்டமாகிவிடும். எப்படி இதை நிர்ணயிப்பது? பார்ப்போம்.

சீரோட்டத்தின் வேக பக்கவாட்டு வடிவம் பாரபோலா என்று பார்த்தோமல்லவா? அமளி ஓட்டத்தில் அவ்வடிவம் பாரபோலா அல்ல. சுவற்றிற்கருகில் வேகம் சற்று அதிகப்பட்டும் (சுவற்றில் வேகம் மீண்டும் பூஜ்ஜியம்தான்), அச்சுக்கருகில் சற்று குறைபட்டும் ஒரு மாதிரி சப்பையான பாரபோலா போல இருக்கும். முன் படத்தில் அமளி ஓட்டத் தோற்றம் என்று குறிப்பிட்டுள்ள இரண்டாவது வடிவம்.

மேலும் பிட்டாட் கருவிகொண்டு அமளி ஓட்டத்தின் வேகத்தை ஒரு இடத்தில் அளந்தோமேயானால் அது தமிழ்பட க்ளைமாக்ஸ் பேஷண்டின் ஈஸிஜி போல ஒரு சராசரி வேக மதிப்பின் அருகில் கிறுக்குத்தனமாக மேலும் கீழும் அலையும். மறுமுறை அளந்தால், வேகம் சற்று மாறி, வேறு மதிப்புகளில் தோன்றும். சிறிது நேரம் தொடர்ந்து ஒரு இடத்தில் வேகத்தை அளந்து, அல்லது, நீரோட்டத்தில் பல இடங்களில் ஒரே நேரத்தில் வேகத்தை அளந்து கிராஃபாக்கினால் கீழேயுள்ள படம் போல இருக்கும். பம்பாய் பங்குசந்தை (சென்செக்ஸ்) இன்டெக்ஸ் போல.

படத்தில் Y அச்சு திரவஓட்டத்தின் வேகத்தின் மதிப்பு, X அச்சு, இடமோ நேரமோ.

சீரோட்டத்தில் இவ்வாறு இல்லை. ஒரு இடத்தில் (அளக்கமுடிந்தவரை) ஒரு வேக மதிப்புதான். கிராஃப் ஒரு நேர்கோடு.

மேலும் அமளி ஓட்டத்தில் பூதக்கண்ணாடி வைத்துக்கொண்டு இந்த கசமுச கிராஃபை பெரிதாக்கி பார்த்தோமேயானால், மறுபடியும் இதேபோல் கிறுக்கலான வேக அளவுகளே தெரியும். சென்செக்ஸ் இன்டெக்ஸை மாத இடைவெளியிலிருந்து பெரிதாக்கி, வார இடைவெளியிலோ அல்லது தின இடைவெளியிலோ பார்த்தாலும் இன்டெக்ஸ் மாறிக்கொண்டே தெரிவதுபோல.

இப்படி சிறு மாறுபாடுகளை கொண்ட அமளிஓட்டத்தின் வேக அளவையே சராசரியாக்கி, சப்பையான பாரபோலாவாக முன் படத்தில் வரைந்துள்ளோம்.

சரி, ஏன் அமளி ஓட்டத்தில் வேகம் எங்கு அளந்தாலும் ஒரு நிலையிலில்லாமல், ஏறியிறங்கிக்கொண்டே இருக்கும்? அடுத்த பகுதியில் தொடர்வோம்.

டர்புலன்ஸ் என்ற ஆங்கில வார்த்தையை உச்சரித்ததும் மனக்கண்முன் பல குழப்பங்கள் படமாகத் வந்துபோகலாம் – நுரைபொங்கும் காவிரி, அலைமோதும் கடல், சுழன்றடிக்கும் புயல், நிசப்த நட்சத்திர வெடிப்பு, கலர் நொடிக் கனவுகள், வளையல் குலுங்கும் கலிடாஸ்கோப், பனகல் பார்க் டிராஃபிக், தட்டாமாலை இப்படி. டர்புலன்ஸ் என்ற ஆங்கில வார்த்தைக்கு குழப்பம் என்று பொருள்கொள்ளலாம்தானே.

ஆனால் அறிவியலில், குறிப்பாக இயற்பியலின் ஒரு பகுதியாக நாம் வகுத்திருக்கும் திரவ-இயற்பியலில், டர்புலன்ஸ் என்றால் வேறு. சற்று ஆர்கனைஸ்டு குழப்பம்.

இந்த விஷயத்தை பற்றிய ஆராய்ச்சி பல நூற்றாண்டுகளாக இன்றும் தொடருகிறது. இப்பவும் குன்சாகத்தான் புரிகிறது. இந்த தொடர் கட்டுரைகளில் டர்புலன்ஸ் என்றால் விஞ்ஞானிகள் எதைக்குறிப்பிடுகின்றனர், அதன் புதிர்கள் என்ன, அதை ஆராய்வதில் என்ன பலன்கள், இதனால் தமிழ்நாட்டின் தண்ணீர் பிரச்சனை தீருமா என்று சில விஷயங்களை நாம் பகிர்ந்துகொள்வோம்.

குழாயினுள்ளோ கடலிலோ, திரவங்களின் ஓட்டத்தை விஞ்ஞானிகள் பொதுவாக இரு பிரிவுகளாக்கி புரிந்துகொள்ள முயலுகின்றனர். ஒன்று லாமினர் (laminar), மற்றொன்று டர்புலன்ட் (turbulent). இவற்றை முறையே சீர் ஓட்டம், அமளி ஓட்டம் என்று எழுதினால் புரியும் என்று நினைக்கிறேன்.

இந்த நாமகரணங்களின் என் தாத்பர்யத்தை சற்று விளக்கிவிடுகிறேன். பொறுமையாக படித்துவிடுங்கள். பின்னால் குழப்பங்களை தவிர்க்கலாம்.

லாமினர் என்பது லாமினே (laminae) என்ற லத்தீன் வார்த்தையின் ஆங்கில திரிபு. லாமினே என்றால் தகடு. இதனால் லாமினர் ஓட்டத்தை தகடொத்தவோட்டம் என்றும் புத்தகங்களில் நீங்கள் படித்திருக்கலாம். அதுவும் சரியே. ஆனால் நான் இங்கு விளக்கும் டர்புலன்ஸ்ஸிற்கு சற்று எதிர்மறையான அர்த்தத்துடன் சரியாக வருவது சீரோட்டம் (சீர் = ஒழுங்கு). அதையே உபயோகிப்பதாக உள்ளேன்.

அதேபோல் டர்புலன்ஸ் என்றால் குழப்பமான ஓட்டம் இல்லையோ. இல்லை. கேயாஸ் தியரி பற்றி முன்பு பார்த்தோம். கேயாஸ் என்றால் ஆங்கிலத்தில் குழப்பம். திரவங்களின் டர்புலன்ஸ் என்பது, திரவங்களின் கேயாஸ் (தியரி) அல்ல. டர்புலன்ஸை கேயாஸ் தியரி கொண்டு விளக்க முற்படலாம். ஆனால் டர்புலன்ஸே கேயாஸ் அல்ல. அப்படி செய்தால் அக்கவுண்ட்ஸை கணக்கு என்று தமிழில் மேம்போக்காக கூறி, மீண்டும் அதை ஆங்கிலப்படுத்தி, மேத்ஸ் என்று கூறுவதுபோல் ஆகிவிடும்.

குழப்பத்திற்கு பதில், சார்ந்த சில வார்த்தைகளை டர்புலன்ஸிற்கு பொருத்தலாம். சிக்கலான ஓட்டம்? உஹூம். இது காம்ப்ளக்ஸ் ஃப்ளோ என்று, திரவ-இயற்பியலின் பகுதியான, காம்ப்ளக்ஸ் திரவங்களின் ஓட்டத்தை குறிக்கும்படியாகிவிடும். நீர்-வாயு என கலந்து இருப்பவை, சேறு, சகதி இவைகள் காம்ப்ளக்ஸ் திரவங்களின் உதாரணம். சில காம்ப்ளக்ஸ் ஃப்ளோக்கள் டர்புலன்ஸாகலாம், ஆனால் அனைத்து டர்புலன்ஸ்ஸும் காம்ப்ளக்ஸ் ஃப்ளோ அல்ல. என் மனைவி பச்சைபுடவை கட்டிக்கொண்டிருப்பாள். மிச்ச ஜோக்கை மனதில் நிரப்பிக்கொள்ளுங்கள்.

இதே ரீதியில், சலன ஓட்டம் என்பது டிஸ்டர்ப்ட் ஃப்ளோ, சீக்கிரம் சரியாகி, சீரோட்டமாகிவிடும். டர்புலன்ஸ் அல்ல. சீரோட்டத்தை எதிர்த்து ஒழுங்கற்ற ஓட்டம்? இதுதான் நிஜமான அன்கண்ட்ரோல்ட் கேயாட்டிக் ஃப்ளோ, இது டர்புலன்ஸ் இல்லை. அதையும் தாண்டி, புனிதமான, நிஜ குழப்பம்.

அமர்க்களமான ஓட்டம், அடாவடியான ஓட்டம், கட்டுப்பாடற்ற ஓட்டம், தறிகெட்ட ஓட்டம், பலதிசை ஓட்டம், ஊரைவிட்டே ஓட்டம், இப்படி எதும் நான் விளக்க முற்படுவதை சரியாக சொல்வதாக எனக்குத் தோன்றவில்லை.

மிஞ்சியது ஆர்ப்பாட்டம், அமளி. இரண்டும வார்த்தைகளும் கட்டுப்பாடுகளை ஒருவகையில் சிதைக்கிறது, இழக்கிறது. ஆனால் மொத்தமாக இல்லை. போலீஸ் லத்தியடிக்கு கட்டுப்படும். டர்புலன்ஸ் சில விதிகளுக்கு கட்டுப்படுவது போல. இரண்டு வார்த்தைகளிலும் உடன் சத்தமும் இருக்கிறது. டர்புலன்ஸில் இருப்பது போல. இதில் ஆர்ப்பாட்டம் ஓரிடத்தில் வரிசையாக நிற்கும் சீரான கும்பலும் செய்யலாம் (கோஷமும் போடலாம், கரகோஷமும் செய்யலாம்). ஆனால் அமளி என்றால் கூட்டமும் சீராக ஒரிடத்தில் நில்லாமல் அங்குமிங்கும் ஓடிக்கொண்டே, சப்தமிடும் விஷயம். அதனால் இப்போதைக்கு, என்னைப்பொறுத்தவரையில், டர்புலன்ஸிற்கு அமளி ஓட்டம். ஓகேயா?

இனி அமளி.

முதலில் எது அமளி?

வீட்டில் சாமிப்பட ஊதுபத்தி புகை சற்று உயரம்வரை சீராக ஒரே தடிமனில் மேலெழும்பி சடாரென குழப்பமாகி மேனி முழுவதும் உடைந்து நாலாபுறமும் பரவி நர்த்தனமாடிக்கொண்டே செல்வதை பார்த்திருப்போம். ஒரு “தம்” போட்டுக்கொண்டு தீவிரமாக யோசித்துக்கொண்டிருக்கையில், கையிலுள்ள சிகரெட்டிலிருந்து மேலெழும்பும் புகையும் மேற்கூறிய மாறுதல்களை வெளிப்படுத்தும். ஆலை புகைபோக்கியிலிருந்து ஆகாயத்தில் வெளிப்படும் புகையும் இந்த அமளி ஓட்டத்தை வெளிப்படுத்தும். வீட்டில் சற்று உயரத்தில் இருக்கும் குழாயிலிருந்து மெலிதாக திறக்கையில் சீராக வெளிப்படும் தண்ணீரும் பொதுவாக தரையை தொடும் முன் ஆடி, ஆடி அகம் கனிந்து, விசை கூடிக் கூடி தண்ணீர் மெருகி, நாடி நாடி நரசிங்கா என்று நெளிநெளியாகி விடுவதும் அமளி ஓட்டத்தின் அறிகுறியே. (சரிப்பா, ஒரு ஃப்ளோல எழுதறதுதான். உதாரணம் புரியுதில்ல. மற்றபடி அறிவியல இலக்கியமாக்கற நோக்கமெல்லாம் இல்லை. மன்னிச்சு வுட்டுருங்க.)

டம்ளரிலிருந்து ஆற்றுகையில் டபராவிற்கு பயணிக்கும் காப்பியையும், பல்சார் பைக்கில் பயணிக்கையில் முகத்தை கோபமாக வருடிக்கொண்டு செல்லும் எதிர்க்காற்றையும், ரோட்டில் மழை நீரோட்டத்தையும், கடல் அலைகளையும், வானத்து மேகங்களையும், சூரியனில் புயல்களையும், நரம்புக்குழாய்களில் நம் ரத்த ஓட்டத்தையும் திரவங்களின் அமளி ஓட்டத்திற்கு உதாரணமாக கூறமுடியும். மேலே கொடுத்துள்ள, வலையில் இருந்து சுட்ட, விமானம் கிளம்புகையில் பின்னால் சுழலும் காற்றில் ஏற்பட்டுள்ளதும் அமளிதான். டர்புலண்ட் வோர்டெக்ஸ் என்பார்கள். அமளிச்சுழல். கீழே கொடுத்துள்ள சொக்கபானையின் தீஜ்வாலைகளும் அமளிதான். டர்புலண்ட் ப்ளூம் என்பார்கள். அமளி குஞ்சம்?

தினவாழ்வில் எதிர்கொள்ளும் மேற்கூறிய உதாரணங்களின் மூலம் அமளி நீரோட்டத்தை சுழலான, கலக்கப்பட்ட, நுரை பொங்கும், கிளர்ச்சிகளடங்கிய, குழப்பமான ஒரு நீரோட்டம் (திரவவோட்டம்) என்பதுவரை விளக்கமுடியும். இயற்கையை கவனித்து புரிந்துகொள்ள முயலும் அறிவியலார்களுக்கு முன்னோடியான இத்தாலிய மேதை லியனார்டோ டா வின்சி (தி டா வின்சி கோட் என்று அல்லோல்பட்டதே, அவர்தான்) குழாயிலிருந்து வெளிவரும் அமளி ஓட்டத்தை கவனித்து, பதினாறாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் பொறுமையாக வரைந்துள்ளதை பாருங்கள்.

க்ளோசப்பில் ஏதோ மாடர்ன் ஆர்ட் போல இருக்கிறது இல்லையா. ஆனால் இவ்வகை ‘ஷாஜகானின் படம் வரைந்து பாகங்களை குறிக்கும்’ அறிமுகதளத்தில் இருந்துகொண்டு அமளி ஓட்டம் ஏன் உண்டாகிறது, எப்படி அதை வழிக்கு கொண்டுவருவது என்பதுபோன்ற கேள்விகளுக்கு காரணம்கூடிய விடை கூறுவது கடினம்.

விஞ்ஞானம் என்ன சொல்கிறது என்று அடுத்த பகுதியில் பார்ப்போம்.

மூக்கை வைத்து ஒருவர் என்ன செய்யலாம்? வாழ்கையில் சுவாசிக்கலாம். மெகாசீரியல் மாந்தராக இருந்தால், ஆண் பெண் வித்தியாசமின்றி, அழுது சிந்தலாம். எகிப்தின் கிளியோபாட்ராவாக இருந்தால், ரோமை ஆளலாம். அதே எகிப்தின் ஸ்பிங்ஸ்சாக இருந்தால், மூக்குடைந்த தன் சிங்க உடல் மனித முக உருவத்தை உலகின் அதிசயங்களில் ஒன்றாக தேர்வு செய்து உவகிக்கலாம். வானியல் அறிஞர் டைகோ பிராஹேவாக இருந்தால், பேச்சுவார்த்தை முற்றுகையில் மூக்கை கழட்டி பாலிஷ்செய்து எதிரியின் கவனத்தை கலைக்கலாம். அவருக்கு இளவயதில் கத்திச்சண்டையில் மூக்கு அறுபட்டு, பிறகு பொய் மூக்கு பொருத்தப்பட்டதாம். நம்ம தேவனின் துப்பறியும் சாம்புவாக இருந்தால், மூக்கை நீவிவிட்டுக்கொள்ளலாம். ஏதாவது துப்பு உதிக்கும். அநேகமாக தவறாக இருக்கும். புலௌ புலௌ பொம்பா தீவில் வசிக்கும் பிரோபோசிஸ் குரங்காக இருந்தால், தன் மூக்கின் வடிவம் டின்டின் (tintin – இதை ’இட்டின்ட்டின்’ என்று எழுதுவதாக இல்லை) காமிக்ஸ் வில்லன் ராஸ்டபாப்புலசுடன் ஒப்பிடப்படும் அவலத்தை அடைய நேரிடலாம்.

மூக்கு வாய் இரண்டும் ஒருங்கே தன் பெரிய அலகில் கொண்டுள்ள டௌகன் பறவையாக இருந்தால்?

இது என்ன கேள்வி. பெரிய அலகை வைத்து தன் உடல் சூட்டை தணித்துக்கொள்ளும். ஜீலை 2009 சயின்ஸ் ஆராய்ச்சி சஞ்சிகையில்கூட புரஃபசர் டாட்டர்ஸால் அட்டகாசமாக வீடியோவுடன் விவரித்து இதைப்பற்றி ஒரு கட்டுரை வந்துள்ளதே, பார்க்கவில்லையா நீங்கள் என்கிறீர்களா. பார்த்துவிடுவோம்.

[ஒரு இடைக்குறிப்பு: இனி கட்டுரையில் வெப்பம், சூடு என்றால் ஹீட் அல்லது வார்ம் (இடத்திற்கு தகுந்தாற்போல). வெப்ப ஆற்றல் என்றால் ஹீட் எனர்ஜி. வெப்பநிலை என்றால் டெம்பரேச்சர். வெப்பப் பரிமாற்றம் என்றால் ஹீட் டிரான்ஸ்ஃபர் (இதை வெப்ப அனுப்புகை என்று தற்சமயம் சொல்வதாயில்லை). தெர்மாமீட்டர் கொண்டு அளக்கப்படுவது வெப்பநிலை. வெப்பப் பரிமாற்றம் (கன்டக்‌ஷன், கன்வெக்‌ஷன் மற்றும் ரேடியேஷன் என்று வகைப்பட்டு), இரு வெப்ப நிலை வித்தியாச இடங்களினூடே நிகழ்வது.]

[கட்டுரை தொடர்கிறது] உயிரினங்களை குளிர்ந்த மற்றும் சூடான இரத்தவோட்டமுடையவையாக பிரிக்கலாம். தெரியும். இதில் சூடான இரத்தவோட்டமுடையவை சூழ்நிலை தட்பவெப்ப மாற்றங்களினால் தங்கள் உடல்சூடு, வெப்பம்நிலை, மாறாதிருப்பவை. அநேக விலங்குகள், பறவைகள், மனிதன் இவ்வகை. உடம்பை கிட்டத்தட்ட ஒரே சூட்டில், வெப்பநிலையில் (~ 37 C) வைத்துக்கொள்ளமுடியும்.

உண்ணும் உணவைக்கொண்டு மெடபாலிச இரசாயனமாற்றங்களினால் எந்நேரமும் உடம்பில் ஆற்றல் உருவாகிக்கொண்டே இருக்கிறது (மெட்டபாலிசத்தை உபசய-அபசயம், ஜீவதத்துவ பரிணாமம் என்றெல்லாம் குறிப்பிடுவதாக இல்லை. படிக்கும் சிறுவர்கள் ரோடில் பார்த்தால் கல்லெறிவார்களோ என்று பயம்). வாழும் ஒவ்வொரு நொடியிலும் இந்த ஆற்றலில் உடலின் அனைத்து தேவைகளுக்கும் போக மீதியுள்ளதை உடல் வெளியேற்றவேண்டும். வெயில், மழை, குளிர் இரவு பகல் என்று சூழ்நிலைகளுக்கு ஏற்றவாறு அதிகமாகவோ கம்மியாகவோ செய்யவேண்டும். இல்லையென்றால் உடல் சூடாகிக்கொண்டேபோய்விடும். தேவைக்கதிகமாக வெளியேற்றினால் உடல் குளிரத்தொடங்கும். ஆங்கிலத்தில் ஹாட் பேப், கூல் டியூட் என்பதற்கெல்லாம் புதிய அர்த்தம் கிடைத்துவிடும்.

ஆற்றலை வெப்பமாக வெளியேற்ற பலவழிகள் உள்ளன. உடல் மேற்பரப்பில் (தோலில்) இருந்து வெளியே காற்றிற்கு வெப்பப் பரிமாற்றம் செய்யலாம். கன்வெக்‌ஷன் (வெப்ப சலனம்), ரேடியேஷன் (கதிரியக்கம்) முறைகளினால். எவாபரேஷன் என்று வியர்வையினாலும் செய்யலாம். துரத்தும் நாயிடம் தப்ப ஓடுகையில் உடலில் தேவைக்கதிகமாக ஆற்றல் உற்பத்தியாகி வெளியேற்ற வியர்கிறதே அதுபோல. ஆனால் பறவைகளுக்கு வியர்க்காது (துரத்தும் நாய்களுக்கு வியர்க்கும், பாதங்களில்). பின்னர் டௌகன் என்ன செய்யும்?

மிகப்பெரிய டௌகன் அலகு 20 செண்டிமீட்டர் நீட்டம் இருக்கும் (டௌகனின் நீளத்தில் மூன்றில் ஒரு பகுதி). இந்த அலகு இரத்தநாளங்களுடையது. சென்னை அருங்காட்சியகத்தில் டௌகன் அலகு பாடம்செய்யப்பட்டிருந்தால் அதில் குறுக்குநெடுக்குகாக ஓடும் பள்ளங்களின் மூலம் இதை அறியலாம். பார்த்தவர்கள் ஊர்ஜிதப்படுத்தலாம்.

சரி, இந்த நாளங்களினால் டௌகன் உடலின் உள்ளிருந்து இரத்த ஓட்டம் சூட்டை வேண்டிய சமயங்களில் விரைவில் அலகிற்கு கொண்டுவர இயலும். அப்போது இந்த அலகின் இரத்த நாளங்கள் சற்று விரிவடையும். இதற்கு வாஸோடைலேஷன் என்பர். அலகிலிருந்து பரப்பில் சுற்றியுள்ள காற்றில் வெப்பப் பரிமாற்றம் நிகழும். காரில் உள்ள ரேடியேட்டர் போல.

அதிகமாக வெளிப்படுத்தமட்டுமின்றி, அலகில் இரத்த ஓட்டத்தை குறைப்பது மூலமாக, டௌகனால் வெளியேறும் வெப்பத்தை மட்டுப்படுத்தவும் முடியும். இப்படி செய்வதற்கு இரத்தநாளங்கள் சுருங்கி அலகில் இரத்த ஓட்டத்தை குறைக்கும். இதற்கு வாஸோகன்ஸ்டிரிக்‌ஷன் என்பர். மனிதன் உட்பட அனைத்து வெப்ப-இரத்த உயிரினங்களும் இவ்வகை இரத்த நாளங்கள் சுருங்கி விரிந்து வெப்ப கட்டுப்பாடு செய்ய வல்லன.

புரஃபசர் டாட்டர்ஸால் மற்றும் ஆராய்ச்சி குழுவினர் டௌகன் இவ்வாறு வெப்பப்பரிமாற்றம் செய்கையில் தெர்மல் இமேஜ் (வெப்பக்கதிர்படக்) காமிரா கொண்டு அலகில் வெப்பநிலையை அளந்திருக்கிறார்கள். கீழே படத்தில் பாருங்கள்.

A முதல் F வரை படத்தில் Y அச்சில் இருப்பது டௌகனின் உடலில், அலகில் பல இடங்களில் அளந்த வெப்பநிலையின் அளவில் இருந்து சுற்றிலும் உள்ள காற்றின் வெப்பநிலையின் வித்தியாசம். X அச்சில் காற்றின் வெப்பநிலை. உடல்-சுற்றம் இவற்றின் வெப்பநிலை வித்தியாசம் ஏறுகையில், ஏற்கனவே இடைக்குறிப்பில் கூறியபடி, வெப்பப்பரிமாற்றத்தினால் உடலில் இருந்து அதிக ஆற்றல், வெப்பமாக வெளியேறுகிறது என்று கொள்ளலாம்.

படத்தில், A மற்றும் B பகுதிகள் சுற்றியுள்ள காற்றின் வெப்பநிலை மதிப்பை பொறுத்து டௌகனின் இறகு மற்றும் கண் அருகில் வெப்பநிலை மதிப்பு எவ்வாறு மாறுகிறது என்று காட்டுகிறது. சுற்றத்தின் வெப்பநிலை அதிகரித்தாலும், இறகிலிருந்து ஒரே அளவு வெப்பமே வெளியேறிக்கொண்டிருப்பது புலனாகிறது (வித்தியாசம் மாறாதிருப்பதால்).

படத்தில் C பகுதியில் டௌகனின் முகத்திற்கருகே உள்ள அலகின் அடிப்பகுதியில் (இதை பிராக்சிமல் பகுதி என்கிறர்கள்) வெப்பநிலை அளவும், D பகுதியில் அலகின் நுனிப்பகுதியில் (டிஸ்டல் பகுதி என்கிறார்கள்) வெப்பநிலை அளவும் தெரிகிறது. சுற்றம் கிட்டத்தட்ட 25 டிகிரி செல்ஷியஸ் வெப்பநிலை இருக்கும் வரையில் அலகின் அடிப்பகுதியில் இருந்து மட்டுமே அதிக வெப்பப் பரிமாற்றம் நிகழ்வது புலனாகிறது. சுற்றம் வெப்பநிலை 25 டிகிரி செல்ஷியஸைவிட அதிகமடைகையில், அடிப்பகுதியில் மட்டுமின்றி, அலகின் நுனிப்பகுதியிலிருந்தும் அதிக வெப்பப் பரிமாற்றம் நிகழத்தொடங்குகிறது. இதற்காக தற்காலிகமாக, ஆனால் விரைவாக, இரத்த ஓட்டம் அலகின் நுனிப்பக்குதிவரை நிகழும்.

படத்தில் E மற்றும் F பகுதி இதே வெப்பப்பரிமாற்றம் குட்டி டௌகனின் (வயது 2 மாதம்) அலகில் நிகழ்கையில் வெப்பநிலையை காட்டுகிறது. உடல் வெப்பத்தை வெளியெற்ற E படத்தில் தன் அலகின் அடிப்பகுதியின் வெப்பநிலையை குட்டி உயர்த்திக்கொண்டே செல்கிறது பருங்கள். ஒரு கட்டத்தில் (சூழலின் வெப்பநிலை மிக அதிகமாக) முடியாமல், அலகின் நுனிப்பகுதியிலிருந்தும் வெப்பத்தை வெளியேற்றத்தொடங்குகிறது. இதனால் அலகின் அடிப்பகுதியில் (E படத்தில்) வெப்பநிலை குறையத்தொடங்குகிறது. இரத்த ஓட்டத்தை கட்டுப்படுத்த அலகின் இரு இடங்களில் இரத்தநாளங்கள் சுருங்கியும் விரிந்தும் செயல்படுகிறது.

இப்படி நிகழ்கையில் டௌகன் எப்படி உணரும் என்று அறிய எனக்கு ஆசை. ஜலதோஷத்தில் மூக்கு கொணகொண என்று கொட்டுகையில், அடிப்பகுதியில் இருந்து நுனிக்கு சளியின் ஓட்டத்தை பொருத்து நான் எப்படி உணருகிறேன் என்று எனக்குத்தான் தெரியும்.

இவ்வகை தெர்மோரெகுலேஷனை டௌகன் மிகவிரைவாக நிமிடங்களுக்குள் நடத்த வல்லது. கீழே இருக்கும் படம் இதை அழகாக வெளியிடுகிறது. இரண்டு நிமிடங்களுக்குள் இரத்தஓட்டம் மிக அதிகமாகி அடிப்பகுதியில் இளஞ்சூட்டில் துளி மஞ்சளாய் இருக்கும் அலகு, தருணத்தில் தகதக என்று மொத்தமும் ஒளிரும் ஆரஞ்சு பிழம்பாய் ஆகிவிடுகிறது.  இடம் வலம் இருக்கும் படங்களை ஒப்பிடுகையில் இது தெரிகிறது.

சுவாரசியமாக இந்த குவிக் தெர்மோரெகுலேஷன், டௌகன் உறங்குகையில் பட்டவர்தனமாக வெளிப்படுகிறது. கீழே வீடியோவில் பாருங்கள் புரியும்.

YouTube Link – Video Credit: Prof. Tattersall

இந்த வீடியோ பேசா மடந்தை படந்தை. தெர்மல் இமேஜ் காமிராவின் தொடர் பிரேம்களை தொகுத்து வீடியோவாக்கப்பட்டுள்ளது. உறங்கும்வரை அலகை ஜம்மென்று வெளியேகாற்றில் காயப்போட்டபடி இருந்த டௌகன், ஆகாசத்தில்வாரியதும், கண்ணை செருகுகையில், அலகையும் இறக்கையினுள் செருகிக்கொண்டுவிடுகிறது. உறக்கத்தில் மெடபாலிசம் குறைந்து, வெளியேறவேண்டிய ஆற்றல் மட்டுபடுகிறது. வெப்பப்பரிமாற்றமும் குறைகிறது. ஆனாலும் உறங்குகையிலும் டௌகனின் அலகின் வெப்பநிலை ஒரு குறைந்த சராசரியில் மேலும் கீழுமாக மாறிக்கொண்டே இருக்குமாம்.

சரி, அடுத்த ஆராய்ச்சி தகவலை பார்ப்போம். வெப்பநிலை அளந்தோம். எவ்வளவு வெப்பப்பரிமாற்றம் நிகழும் என்று சொல்ல முடியுமா? முடியும். இதை கணக்கிட வெப்பப்பரிமாற்ற முறைகளின் விதிகள் வேண்டும். இருக்கிறது.

அலகில் இருந்து சுற்றியுள்ள காற்றிற்கு கன்வெக்‌ஷன் (வெப்ப சலன கடத்தல்) மற்றும் ரேடியேஷன் (கதிர்வீச்சு வெப்பக்கடத்தல்) முறைகளில் இது நடக்கும். சுற்றி காற்று வேகம் அதிகரித்தால் வெப்ப சலனமும் அதிகரிக்கும் (அறிமுகத்திற்கு வெப்ப சலனம் கட்டுரையை படித்துக்கொள்ளுங்கள்). வெப்ப பரிமாற்றத்தின் ஆற்றல் அளவை கணக்கிட சில கணித மாதிரிகள் ஏற்கனவே இருக்கின்றன. அலகை உருளையாக மாதிரித்து, அளந்த வெப்பநிலைகளை, மற்றும் காற்றின் வேக அளவை கணித மாதிரிகளில் நுழைத்து வெப்ப ஆற்றலை கணக்கிட்டுள்ளனர். எப்படி என்று விரிவாக யானைக் காதைப்பற்றி வேறு கட்டுரையில் எழுதுகையில் சொல்வோம். இப்போதைக்கு கீழே கொடுத்துள்ள வெப்ப ஆற்றல் மதிப்பீடுகளை பாருங்கள்.

மேல்படத்தில் சுற்றத்தின் வெப்பநிலை மாற்றத்தை பொருத்து, டௌகனின் அலகில் இருந்து 4முதல் 6 வாட் (watt) வெப்ப ஆற்றல் வெளிப்படுவது தெரிகிறது. அடுத்து கீழே (நடுவில்) இருக்கும் படம் இந்த ஆற்றலை டௌகன் வெளிப்படுத்தவேண்டிய ஆற்றல் அளவின் சதவீதமாக காட்டுகிறது. அதாவது, சாதாரணமாக 30இல் இருந்து 60 சதவீதம் கழிவு வெப்ப ஆற்றலை டௌகன் தன் அலகினால் வெளிப்படுத்துகிறது.

ஆராய்சியில் புலனாவது, பெரிய டௌகனினால் அலகின் இரத்தஓட்டத்தை கட்டுப்படுத்துவது மூலம் நிமிடங்களுக்குள் மிகக்குறைவாக 5 சதவீதம் மட்டும் வெளிப்படுத்த முடியும். அதேபோல சில நொடிகளுக்கு 100 சதவீதம் வரையில் கூட கழிவு வெப்பத்தை வெளியேற்றவும் முடியும்.

இரண்டு மாத குட்டி டௌகன்கள் இதை திறம்படச்செய்ய முடியாது. அவைகளினால் இரத்தஓட்டத்தை சுலபமாக குறைக்கமுடிவதில்லையாம். அதனால் தேவைக்கு அதிகமாக வெப்பம் வெளியேறி, சுற்றம் 26 டிகிரி செல்ஷியஸ் என இருக்கையிலும் இவைகள் நடுங்கிக்கொண்டே இருக்கும். நடுக்கம் மெடபாலிஸத்தை அதிகரித்து, உடல் பகுதிகளில் ஆற்றலை தோற்றுவிக்கும். வெளியேறியதை சரிகட்ட. (நாமும் குளிரில் இதனால்தான் நடுங்குகிறோம். Shivering is a thermoregulation process.)

சரி, இதுவரை விளக்கிய அனைத்தும் அளந்தது (மெஷர்ட்). இனி சற்றே அளப்பது (ஊகிப்பது).

மேலே உள்ள படத்தில், அடியில் இருக்கும் E மற்றும் F படங்கள் காற்றின் வேகம் அதிகரித்தால் இந்த வெப்பவெளியேற்றத்தின் மதிப்பு மாறுபடுவதை விளக்குகிறது. இது கணித மாதிரியில் வேகத்தின் மதிப்பை அதிகரித்துக்கொண்டேபோய், அதற்கேற்றவாறு பரிமாறிய வெப்ப ஆற்றலை கணக்கிட்டு சொல்லியது. உதாரணத்திற்கு, காற்று மணிக்கு 20 கிலோமீட்டர் வேகத்தில் (நொடிக்கு 6 மீட்டர்) டௌகனை சுற்றி அடித்தால் (இல்லை, டௌகன் இவ்வாறு பறந்தால்) அலகிலிருந்து இளைபாருகையில் எவ்வளவு வெப்பம் வெளியேறவேண்டுமோ அதைப்போல 400மடங்கு அதிகம் வெளியேற்ற முடியும். இது E படத்தில் தெரிகிறது. மாதிரி அளிக்கும் பதில். மாதிரி தவறல்ல. மணிக்கு 20 கிலோமீட்டர் டௌகன் பறக்குமா, அதைத்தான் அளந்து இங்கு கொடுத்துள்ளார்களா என்பதில்தான் சந்தேகம்

இப்போதைக்கு இந்த சந்தேகத்துடன் மூக்கை நீவிவிட்டபடி பிரிவோம். நம்முள் இருக்கும் சாம்புவிடம் பதில் சரியாகவும் இருக்கும்.

கட்டுரை சுட்டிகள்

1. Tattersall, G., Andrade, D., & Abe, A. (2009). Heat Exchange from the Toucan Bill Reveals a Controllable Vascular Thermal Radiator Science, 325 (5939), 468-470 DOI: 10.1126/science.1175553
2. Tattersall, G. J. et al. – Supporting Online Material

கோவில் இல்லாத ஊரில் குடியிருக்க வேண்டாம் என்று நன்மக்கள் கூறுவர். டிப்பார்ட்மெண்டல் ஸ்டோர் இல்லாத ஊரில் எட்டடுக்கு செங்குத்து தெருவில் ஒரு பிளாட்டிலும் குடிபோக வேண்டாம் என்று சமகால பொதுமக்கள் அறிவுருத்துவர். டாஸ்மாக் இல்லாத ஊரில் அருந்தும் பழக்கம் வேண்டாம் (கட்டுப்படியாகாது) என்று குடிமக்கள் சொல்வதாக கேள்வி. சரி மேட்டருக்கு வருவோம்.

புதிதாக கடை போட்டு, அதில் லாபம் கொழிக்க வேண்டும் என்றால், எந்த இடம் தோதாக வரும்? முன்கூட்டியே நிர்ணயிக்கமுடியுமா?

தேசத்திலோ, மாநிலத்திலோ, மக்கள்தொகை அடர்த்தி குறைவாக இருக்கும் பகுதியில் தொடங்கினால் நிச்சயம் எல்லோரும் கடையை உபயோகிப்பர் என்று ஊகிக்கலாம். ஆனால், மக்கள்தொகை அதிகமாக இருக்கும் பகுதியில் தொடங்கினால், தன்னிச்சையாக கடைக்கு ஜனநடமாட்டம் அதிகமாக இருக்கும் என்பதால், லாபம் அதிகம் வருவது நிச்சயம் என்றும் தோன்றுகிறதே. எது சரி?

கேள்வி 1: பொதுவாக, ஒரு தேசத்தின் மக்கள்தொகை அடர்த்திக்கும் அதன் நுகர்பொருள் ஸ்தாபனங்களின் (குறிப்பிட்ட பரப்பில் எவ்வளவு என்ற) அடர்த்திக்கும் ஏதாவது தொடர்பு இருக்கிறதா?

அதேபோல, கோவில், தீயணைப்பு நிலையம், பள்ளி, போன்ற லாபநோக்கத்தை முன்வைக்காமல் செயல்படவேண்டிய பொதுச்சேவை ஸ்தாபனங்களை எங்கு தோற்றுவிப்பது? மக்கள்தொகை அதிகமாக இருக்கும் பகுதியில் அதிகமாக இவற்றை வைப்போம் என்று மேம்போக்காக ஊகிக்கமுடியாது. பலரையும் சென்றடைய வேண்டிய பொதுச்சேவை மக்கள்தொகை அடர்த்தி குறைவாக இருக்கும் பகுதியிலும் சமமாக அனைவருக்கும் கிட்ட வேண்டும் இல்லையா.

கேள்வி 2: தேசத்தின் பொதுச்சேவை ஸ்தாபனங்களின் (குறிப்பிட்ட பரப்பில் எவ்வளவு என்ற) அடர்த்திக்கும் மக்கள்தொகை அடர்த்திக்கும் புரியும்படியாக ஏதும் தொடர்பு இருக்கிறதா?

மேல் பத்திகளின் கேட்ட இரண்டு கேள்விகளுக்கும் பதில்: தொடர்பு இருக்கிறது.

இப்படிக் நிருபணத்துடன் கூறுகிறது சமீபத்தில் வெளியான ஒரு ஆராய்ச்சி கட்டுரை [1]. தொடர்பை என்று ஒரு எளிமையான ஒட்டுறவாக (ஆங்கிலத்தில், காரலேஷன்) எழுதமுடியும். இதில் D என்பது ஓர் இடத்தில் நுகர்பொருளோ, சேவையோ சார்ந்த ஸ்தாபனங்களின் அடர்த்தி; என்பது மக்கள்தொகை அடர்த்தி. இங்கு அடர்த்தி என்றால் 1 சதுர கிலோமீட்டர் பரப்பில் எத்தனை என்ற எண்ணிக்கை.

நுகர்பொருள் ஸ்தாபனங்களுக்கு எக்ஸ்பொனெண்ட் (அடுக்குக்குறி) என்றும் பொதுச்சேவை ஸ்தாபனங்களுக்கு என்றும் தெளிவாகியுள்ளது. அதாவது எந்த தேசத்திலும் லாபத்திற்கு இயங்கும் நுகர்பொருள் ஸ்தாபனங்கள்தான் பொதுச்சேவை ஸ்தாபனங்களைவிட அதிகமாக இருக்கும்.

ருசுவுக்கு அமெரிக்காவின் இருவகையிலும் இயங்கும் உதாரண நிறுவனங்களின் இவ்வகை தொடர்பை விளக்கும் தகவல் வரைபடத்தை பாருங்கள்.

முதல் வரைபடம் அமேரிக்க மக்கள்தொகை அடர்த்தி மற்றும் ஆஸ்பத்திரிகளின் அடர்த்தியின் ஒட்டுறவை காட்டுகிறது. லாபநோக்கில் இயங்கும் இந்த நிறுவனங்களின் ஒட்டுறவு கிட்டத்தட்ட என்று வருகிறது பாருங்கள். உதாரணத்திற்கு, தகவல்படத்தில் (மேல் படம் A) உள்ளதுபோல, அமேரிக்காவில் ஒரு இடத்தில் 1 சதுரகிலோமீட்டர் பரப்பில் 10000 மக்கள் என்று இருந்தால் (x அச்சில் கோடி புள்ளி), அவ்விடத்தில் ஆஸ்பத்திரிகளின் அடர்த்தி எண்ணிக்கை கிட்டத்தட்ட 1 (10⁰ – Y அச்சில் ஒத்திருக்கும் புள்ளி). அதாவது, ஒவ்வொரு ஆஸ்பத்திரியும் 0.996 சதுரகிலோமீட்டர் பரப்பிற்கு சேவைபுரிகிறது. பரப்பை வட்டம் என்று வைத்துக்கொண்டால், கிட்டத்தட்ட அரை கிலோமீட்டருக்கு (0.566) ஒரு ஆஸ்பத்திரி என்று வருகிறது. மறந்துவிடாதீர்கள், இது 10000 மக்கள்/சதுரகிலோமீட்டர் இடங்களில்.

மக்கள்தொகை அடர்த்தி குறைந்தால், அதற்கேற்றார்போல், ஆஸ்பத்திரிகளின் எண்ணிக்கையும் குறையும். ஆனால் எக்ஸ்பொனெண்ட் 1.13 என்றே இருக்கிறது.

இரண்டாவது வரைபடம் அமேரிக்க மக்கள்தொகை அடர்த்தி மற்றும் பொதுப்பணி பள்ளிகளின் அடர்த்தியின் ஒட்டுறவை காட்டுகிறது. மேலோட்டமாக புள்ளிகள் அனைத்தையும் சேர்த்துப்பார்த்தால் இங்கும், லாப நோக்கமின்றி இயங்கும் இவ்வகை நிறுவனங்களுக்கான கிட்டத்தட்ட சரியாக வருகிறது. அதாவது, மேல்பத்தியில் உள்ள உதாரணத்தில் சொன்னபடி (வட்டம் என்று வைத்து) கணக்கிட்டால், மூன்று கிலோமீட்டருக்கு ஒரு பொதுப்பணி பள்ளி என்று வரும்.

கட்டுரையாளர்கள் (அனைவரும் தென்கொரியர்கள்) அமேரிக்கா மட்டுமின்றி, தென்கொரியா நாட்டின்  இவ்வகை ஸ்தாபனங்களுக்கும் மேல்கூறிய ஒட்டுறவை சரிபார்த்திருக்கின்றனர். நிறுவனங்களின் லாபமும் அவற்றை ஓரிடத்தில் அநேக மக்கள் அணுகுவதற்கு அவர்களுக்காகும் செலவையும் கணக்கில்கொண்டு தோற்றுவித்த ஒரு பொருளியல் மாதிரியை (எகனாமிக்ஸ் மாடல்) உபயோகித்து அவர்கள் இந்த விஷயத்தை சரிபார்த்துள்ளனர்.

அவர்கள் கட்டுரையில் கொடுக்கும் கணிதம், சமன்பாடுகள் இன்றி, எளிமையாக விளக்க முற்படுவோம்.

லாபநோக்குள்ள நுகர்பொருள் நிறுவனங்களுக்கு லாபம்தான் குறிக்கோள், தேவை. அதற்கு அநேக மக்கள் கடையை அணுகவேண்டும். மக்களின் அனைத்து தேவைகளும், பொருட்களும் (டிப்பார்ட்மெண்டல் ஸ்டோர் போல) இவ்வகையிலான ஒரு கடையில் இருக்கிறது என்று வைத்துக்கொண்டால் (வால்மார்ட் போல), மக்கள்தொகை அடர்த்தி அதிகமுள்ள இடங்களில் உள்ள இவ்வகை கடைகள் ம.தொ.அ. கம்மியான இடங்களில் இருக்கும் அதேவகை கடைகளை கட்டிலும் அதிக லாபம் தரும் என்று நாம் ஊகிக்கலாம். சென்னையிலும் நெல்லிக்குப்பத்திலும் இருக்கும் அதேவகை துணிக்கடைகளின் லாபத்தைப்போல. ஆனால் இது ஒரு நிலையற்ற சமன்.

ஏனெனில், வியாபாரத்தில் அனைவரும் அதிக லாபம் வேண்டும் என்று நினைப்பர். அதனால் காலப்போக்கில் ஒரேவகை கடைகளை நடத்தும் அனைவரும் மக்கள்தொகை அடர்த்தி அதிகமுள்ள இடத்திற்கு தங்கள் கடைகளை புலம்பெயர்த்த எத்தனிப்பர். தி.நகரில் இப்போது இருக்கும் துணிக்கடைகளின் அணிவகுப்பைப்போல.

இவ்வகை ஒரேதினுசு கடைகளின் நெருக்கத்தினால், ஒரு கடைக்கு மட்டும் அதிக மக்கள் போவது குறைந்து, காலப்போக்கில் அருகருகே தோன்றியுள்ள அநேக கடைகளுக்கு (ஒவ்வொன்றிர்க்கும்) குறைந்த மக்கள் போவது அதிகரித்துவிடும். அதனால் ஒரிரு (ஒரேதினுசு) கடைகளுக்கு கிடைத்துக்கொண்டிருந்த அதிகலாபம் அடிபட்டுப்போய், அனைவருக்கும் கிட்டத்தட்ட ஒரே (குறைந்த) லாபம் கிடைக்கலாம். இல்லை ஒரே தினுசு கடைகள் மிகவும் அதிகமாகிவிட்டால், லாபம் வியாபாரிகளால் ஒத்துக்கொள்ளமுடியாத அளவிற்கு மிகவும் குறைந்துவிடலாம். இது நிலையான சமன். நியதி.

காலப்போக்கில் இவ்வகை லாபநோக்கமுள்ள கடைகள் ஒரு தேசத்திலோ, ஒரு மாநிலத்திலோ அல்லது ஒரு ஊரிலோ மக்கள்தொகை அடர்த்தியைகொண்டு, ஒவ்வொரு கடையிலும் கிட்டத்தட்ட அதே மக்கள் எண்ணிக்கை வருவதுபோல பரவிவிடும். அப்போதுதானே அனைத்து கடைகளுக்கும் அதே (அதிக) லாபம் கிடைக்கும்.

அதனால், மக்கள்தொகை அடர்த்திக்கும் இவ்வகை லாபநோக்குள்ள ஸ்தாபனங்களின் அடர்த்திக்கும் ஒட்டுறவு அடுக்குப்படி எண்ணிக்கை ஒன்றிற்கு அருகில் இருக்கும் என்று ஊகிக்கலாம். ஆஸ்பத்திரிகளுக்கு மேலே தகவல் வரைபடத்தில் காட்டியுள்ளதை போல.

பொது, சேவை, நிறுவனங்களின் அடர்த்திக்கும் இவ்வகை விளக்கம் அளிக்கலாம். இவை லாபநோக்கில் செயல்படுபவை இல்லை (என்று நம்புவோம்). அதனால் ஓர் இடத்தில் இவற்றின் தோன்றல் லாபம் கருதி இல்லை. வேறு நிர்பந்தங்கள் இவற்றை இயக்குகிறது. உதாரணமாக, சுத்துபத்தில் உள்ள மக்களால் எவ்வளவு சுலபமாக இவற்றை ஒர் இடத்தில் அணுகமுடியும் என்பதை வைத்து என்று கொள்ளலாம்.

இதைவைத்து பார்க்கையில், இவ்வகை பொதுநிறுவனங்கள் காலப்போக்கில் சுலபமாக அணுகிவிடமுடியும் (தூரம் கம்மி, அதனால் பிரயான செலவு கம்மி) என்ற இடத்தில் இருந்து அநேக மக்களால் அணுக கடினமாக இருக்கும் (வெகுதூரம், பிரயாண செலவு அதிகம்) இடங்களை நோக்கி புலம்பெயர்ந்துவிடும்.

மாற்றிச்சொல்லவில்லை. யோசித்துப்பாருங்கள். இந்த தர்க்கத்தில் ’அநேக மக்கள்’ என்பது முக்கியம்.

இந்த லாபநோக்கற்ற, பொதுப்பணி/நற்பணி நிறுவனங்கள் இப்படிச்செய்தால்தானே அதிக மக்களுக்கு இவற்றை அணுகுவதற்கான பிரயாணம்செய்யும் தூரத்தையும் அதனால் ஏற்படும் பிரயாண செலவையும் பொதுவாக அநேக மக்களுக்கு குறைக்க முடியும்.

மக்களுக்காகும் இவ்வகை பிரயாண செலவை கட்டுரையாளர்கள் சமுதாய சந்தர்ப்பச் செலவுகள் என்கிறார்கள். இவ்வகை நிறுவனங்கள் காலப்போக்கில் மிகக்குறைவாக சமுதாய சந்தர்ப்பச் செலவுகள் செய்யும் மக்களுக்கிடையேயிருந்து தள்ளியும், மிக அதிக சமுதாய சந்தர்ப்பச் செலவுகள் செய்யும் மக்களுக்கிடையே நெருங்கியும் அமையும். இவற்றின் ஒட்டுறவு அடுக்குப்படி (எக்ஸ்பொனெண்ட்) 0.69 என்று வருகிறதாம்.

இரண்டு முடிவுகளையும் கட்டுரையாளர்கள் [1] முன்வைத்துள்ள பொருளியல் மாதிரி சரியாக கணிக்கிறதாம். ஆனால் எதிர்பார்ப்பதுபோல அனைத்து ஸ்தாபனங்களும் சரியாக இவ்விரண்டுவகை விகிதத்தில் மட்டும் தோன்றுவதில்லை. லாபநோக்கம் உள்ளதா இல்லையா என்று சரியாகத்தெரியாத நிறுவனங்கள் இருக்கிறது. உதாரணம் வங்கிகள்.

அமேரிக்காவில் வங்கிகள் 0.88 என்ற எக்ஸ்பொனெண்ட் படி அமைந்துள்ளது. இதே வங்கிகள் வெர்ஸஸ் மக்கள்தொகை அடர்த்தி தென்கொரியாவில் 1.18 என்று எக்ஸ்பொனெண்ட் வரும் படி இருக்கிறதாம். நம் தேசத்தில் எவ்வளவோ.

சுவையான மற்றொரு உதாரணம் பள்ளிக்கூடங்கள். இடண்டாவது வரைபடத்தில் தகவல் காட்டியிருக்கும் தகவலை சற்று ஆராய்ந்தால், இரண்டு வகை எக்ஸ்பொனெண்டுகளும் இந்த நிறுவனத்திற்குப் பொருந்துகிறது. மக்கள்தொகை அடர்த்தி 1 சதுர கிலோமீட்டருக்கு 100 மக்களுக்கும் கீழ் இருக்கையில் பொதுப்பணி பள்ளிகள் 0.69 என்ற எக்ஸ்பொனெண்ட் படியும் (முன்னர் கூறியபடி, இது 3 கிலோமீட்டருக்கு 1 பள்ளி என்று வரும்), மக்கள்தொகை அடர்த்தி 1 சதுர கிலோமீட்டர் பரப்பிற்கு 100 மக்களுக்கும் மேலாக இருக்கையில், என்ற எக்ஸ்பொனெண்ட் படியும் இருக்கிறதாம் (தோராயமாக 0.6 கிலோமீட்டருக்கு 1 பள்ளி).

மக்கள்தொகை அடர்த்தி அதிகம் இருக்கும் பகுதிகள் நகரங்களாக இருக்கலாம். இவற்றில் மக்கள் பிள்ளைகளை படிக்வைக்க வேண்டும் என்றும், அதற்கு செலவு செய்யவும் தயாராக உள்ளனர் என்றும் கொள்ளலாம். ஒட்டுறவு எக்ஸ்பொனெண்ட் 0.69இல் இருந்து 1 என மாறுவதை வைத்து நகரங்களில் பொதுப்பணி பள்ளிகளும் தனியார் பள்ளிகளைப்போல தன்னிச்சையாக லாபநோக்கத்தில் இயங்குவது இயல்போ என எண்ணவைக்கிறது.

இதெல்லாம் சரி, நம்மூரில் கமர்கட், பலப்பம் மற்றும் அன்றாட மளிகை பட்டுவாடா செய்யும் தாத்தா கடைகளும், முச்சந்திகளில் விரவியிருக்கும் வரசித்தி விநாயகர் கோவில்களும், முறையே இவ்வகை லாபநோக்கு மற்றும் பொதுப்பணி நோக்கு நிறுவனங்களுக்கான ஒட்டுறவிற்கு உடன்படுமா? சந்தேகமே.

கட்டுரை ஆலோசனை

[1] Um, J., Son, S., Lee, S., Jeong, H., & Kim, B. (2009). Scaling laws between population and facility densities Proceedings of the National Academy of Sciences, 106 (34), 14236-14240 DOI: 10.1073/pnas.0901898106

சிறுவயதில் கமர்கட்டோ, இலந்தைவடையோ கையூட்டாக பெற்று, அம்மாவிற்காக பக்கத்து கடைவரை சென்று மாவு அரைத்து வந்ததுண்டா? மாவுமெஷின் கடையில் மோட்டாரிலிருந்து மாவரைக்கும் ஜகடையை இணைக்கும் கன்வேயர் பெல்ட்டை பார்த்திருக்கிறீர்களா? என்றால், நான் இங்கு எழுதப்போகும் வஸ்துவுடன் உங்களுக்கு பரிச்சயம் இருக்கும்.

இதுவரை இவ்வகை வீடுபேற்றில் திளைத்தெழுந்ததில்லையெனில், வீட்டிற்கருகே மாவுமெஷின்கடை இருந்தால் ஒரு எட்டு போய் பார்த்துவிட்டு வந்து தொடர்ந்து படியுங்கள். அதற்கும் முடியாமல் வீட்டைச்சுற்றி பொட்டல் காடாய் புலம்பெயர்ந்திருப்பவர்களுக்கு, இடம், பொருள், ஏவல், தவிடு சூழ நான் குறிப்பிடும் மாவுமெஷின், அருகில் படத்தில் காட்டியுள்ளதுபோல இருக்கும்.

சரி, விஷயத்திற்கு வருவோம். படத்தில் ஒரு விநோதம் கவனித்தீர்களா; மோட்டார் ஷாஃப்டையும் அரைக்கும் ஜகடையையும் கோர்த்து இணைக்கும் பெல்ட் பட்டை நேராக இல்லாமல், நடுவில் ஒரு முறுகலோடு (மடக்கி, மாற்றிப்போட்டு) இருக்கிறது. மோட்டார் இயங்குகையிலும் பெல்ட் இவ்வாறே பயணிக்கும். எதற்காக இப்படி?

விடை உங்களில் மெஷின் அருகில் சென்று கவனித்த சிலருக்கு தெரிந்ததுதான். முறுகலில்லாமல் (மடக்கி போடாமல்) பெல்ட்டை நேராக அணிவித்தால், தொடர்ந்து சுற்றுவதினால் ஏற்படும் மோட்டார்-பெல்ட் இடையேயான உராய்வு பெல்டின் ஒரு (கீழ்) பகுதியிலேயே இயங்கும். அங்கு பெல்ட் சீக்கிரம் தேய்ந்துவிடும். தேய்ந்த கீழ்பரப்பு மேலே வருமாறு பிறகு மாற்றிப்போடவேண்டும். ஒரு முறுகலோடு அணிவித்தால், விந்தையாக, உராய்வு பெல்டின் மேல், கீழ் பரப்பு அனைத்திலும் பகிரப்படும். மாற்றிப்போடத்தேவையின்றி நீடித்து உழைக்கும். ஏனெனில், (ஒரு பாதி) முறுகலோடு இருக்கும் பெல்ட்டிற்கு, மேல், கீழ் என தனியாக பக்கம் பிரிக்கமுடியாது. மேல்தான் கீழ்; கீழ்தான் மேல். மாற்றிச்சொன்னால், உட்புறம்தான் வெளிப்புறம்; வெளிப்புறம்தான் உட்புறம். மங்காத்தா வார்த்தைகளில் உள்ளே(தான்) வெளியே.

இவ்வாறு, (பட்டையின் தடிமனை கணக்கில் கொள்ளாமல்) இருபரிமாணத்தில் உள்ளே-வெளியே வித்தியாசமற்று இருக்கும் பட்டை ஒரு கணித விந்தை பொருள். பெயர், மோபியஸ் பட்டை.

இவ்வகை பட்டையின் தனித்தன்மைகளை கண்டுணர்ந்த கணிதவியலாளர் மோபியஸ்(1790-1868). இடவியல் (டோப்பாலஜி), வரைகோலவியல் (கிராஃப் தியரி) என்று சென்ற இரு கட்டுரைகளிலும் பரப்புகள் அவற்றின் குணங்கள் பற்றியும் அலசினோம். இடவியல் வார்த்தைகளில் சொன்னால் மோபியஸ் பட்டை ஓர்பரப்பு பொருள்.

மேலேசெல்லும்முன் பட்டையை வீட்டிலேயே செய்துபார்த்துவிடலாம். அக்கம் பக்கம் குழந்தைகளையும் ஆட்டத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள். தாய்மார்கள் வாழ்த்துவர்.

அருகில் படத்தில் உள்ளபடி பேப்பரில் நீளமான இரண்டு துண்டுகளை வெட்டிக்கொள்ளுங்கள். அகலமும் சற்று தாராளமாக இருக்கட்டும். இரண்டு பக்கமும் (மேல்-கீழ், அல்லது உள்-வெளி புறம்) அடையாளம் தெரிய வேறு நிறங்களில் ஓரமாக புள்ளிவைத்துக்கொள்ளுங்கள் (படத்தில் பிங்க் மற்றும் பச்சை புள்ளிகள்).

ஒரு பட்டையை மடக்கி, ஓரத்தில் அதே நிறப் புள்ளிகள் சேர்ந்துவருமாறு ஒட்டுங்கள். வெளிவரும் பொருள் ஓரு துண்டிக்கப்பட்ட, சிறிய உருளையாக இருக்கும்.

மற்றொரு காகிதப்பட்டையை ஒரு அரைச்சுற்று மடக்கி இரு முனைகளையும் ஒட்டுங்கள். இப்படி செய்கையில் வேற்றுநிறப்புள்ளிகள் இருக்கும் ஓரங்களை சேர்த்திருப்பீர்கள். வெளிவரும் பொருள் உருளை இல்லை. இதுதான் மோபியஸ் பட்டை.

உருளைக்கு உள்ளே, வெளியே என இரண்டு பரப்பை சரியாக பிரித்துப் பார்க்கமுடியும். மோபியஸ் பட்டைக்கு ஒரே பக்கம்தான். வேண்டுமானால் பென்சிலைவைத்து ஒர் இடத்தில் தொடங்கி பட்டையை சுற்றி கோடு போட்டுக்கொண்டே வந்து, தொடங்கிய இடத்தில் சேருங்கள். விஷயம் விளங்கும். மோபியஸ் பட்டையின் ஒருபுறத்தை மட்டும் பெயிண்ட் அடிக்க காசு வாங்கி ஏமாறாதீர்கள்.

அதேபோல் ஒரு மோபியஸ் பட்டையை இரண்டாக்கித்தருகிறேன் என்றும் (அருகில் இருக்கும் குழந்தைகளிடம்) ரீல் விடாதீர்கள். ஏன் முடியாது என்று பரிசோதிப்போம். கையில் உள்ள உருளையின் குறுக்கே கத்தரிகொண்டு வெட்டுங்கள். வெட்டு தொடங்கிய இடத்திற்கே வந்தவுடன், முதல் உருளையைவிட அகலத்தில் இளைத்த இரண்டு உருளைகள் கிடைக்கும், இல்லையா.

இதேபோல் மோபியஸ் பட்டையை குறுக்கே வெட்டுங்கள். கிடைப்பது இளைத்த இரண்டு… இல்லை, இல்லை, இளைத்த ஒரு, ஆனால் முன்னைக்காட்டிலும் பெரிய, மோபியஸ் பட்டை. கவனித்தால், இந்த பெரிய மோபியஸ் பட்டையில் இரண்டு முறுக்கு இருக்கும்.

நீண்டு இருக்கும் இந்த மோபியஸ் பட்டையிலும் குறுக்காக இன்னொருமுறை வெட்டலாம். இவ்வாறு வெட்டிக் கிடைக்கும் வெட்டியான பொருள்… அனுமானிக்கமுடியாதது. இரண்டு 8 எண்ணை குறுக்காக சேர்த்ததுபோல இப்படி இருக்கும் (படத்தில் ஒரு 8 படுக்கைவாட்டிலும், மற்றொன்று நீட்டவாக்கிலும் இருக்கிறது).

மோபியஸ் பட்டையை வைத்து பல எளிய சோதனைகள் இவ்வகையில் செய்யலாம். நம் கத்தரி குடலாபரேஷனை இத்துடன் நிறுத்திக்கொள்ளுவோம். இப்போது ஒரு பழைய மிஸ்டர் எக்ஸ் ஜோக் சொல்வோம்.

மிஸ்டர் எக்ஸை எப்பொழுதும் ஆபீஸில் பிஸியாக வைத்துக்கொள்ள என்ன செய்ய வேண்டும்? சுலபம். அவரிடம் ஒரு வெற்றுத் தாளில் இரண்டு பக்கத்திலும் ஓரத்தில் PTO என்று எழுதிக் கொடுத்துவிட வேண்டும்.

அடிக்க வருமுன் ஒரு விஷயம் கவனியுங்கள். ஜோக்கின் புத்திசாலித்தன சாராம்சம் மோபியஸ் பட்டையின் ஒரு குணம். அதாவது, சிம்பிளாக முடிவற்ற செயலை செய்வது.

மோபியஸ் பட்டையில் பயணம் முடிவில்லாதது. ஒரு எறும்பை பிடித்து அந்தரத்தில் தொங்கும் மோபியஸ் பட்டையின் மீது விட்டால் அதன் மிச்ச ‘வாழ்க்கை பயணம்’ உத்தேசமாக பட்டையிலேயே முடிந்துவிடலாம். முடிவற்றதை குணத்தில் கொண்டுள்ளதால் மிகப்பெரிய முடிவற்ற எண்ணிக்கை, அனந்தம், இன்ஃபினிட்டி, என்பதற்கு எட்டை படுக்கவைத்தார்போல எழுதுவோமே, அதுவும் ஒரு மோபியஸ் பட்டைதான் என்றும் கூறுவர். கணித விந்தை பொருள்களையும், விஷயங்களையும் அனாயாசமாக தன் ஓவியங்களில் இருத்தி விளையாடியவர் மாரிஸ் எஷர். இவரின் ஒரு ஓவியத்தில் எறும்புகளுக்கு மோபியஸ் பட்டையில் அனந்தமான பயணம் விதிக்கப்பட்டுள்ளது.

இடவியல், கணிதவியல் கடந்து இப்பட்டையினால் என்ன பயன்? நம்ம ரேஞ்சுக்கு, நாய்க்கு கட்டமுடியுமா என்றால், முடியும். முறுகலினால் கழுத்து வலிக்கும். மலையாள பகவதி மந்திரித்து கொடுத்தது என்று மோதிர வளையத்திற்கு பதில் விரலில் சிறியதாய் போட்டு அழகு பார்க்கலாம். தவறில்லை. கணிதவியலாளர்கள் இருக்கும் வீட்டில் திருஷ்டிக்காக வாசலில் குதிரை லாடத்திற்கு பதில் கட்டித் தொங்கவிடலாம். என்ன என்று கேட்பவர்கள் ஞானமடைவார்கள். பள்ளியில், தண்டவாள துண்டிற்கு பதிலாக உலோக மோபியஸ் பட்டையில் மணியடிக்கலாம். ஏதோ மிகைக்காக இப்படி காதில் மோபியஸ் பூ சுற்றுகிறேன் என்று எண்ண வேண்டாம். இதே ரீதியில் மெக்கானிக்கல் பிரெய்ன் உடையவர்கள் சிறியதாய் மோபியஸ் கியர் செய்துபார்த்து உவகித்துள்ளனர்.

(இங்கும் பார்க்கவும், மோபியஸ் கியர் எப்படி செய்வது என்று குறிப்புரை உள்ளது)

சமீபத்தில், மோதிரம் சைசில் இருக்கும் ஒரு மோபியஸ் பட்டையை ஆளுயர பக்கெட் தண்ணீரில் போட்டு, அது எப்படி உருண்டு பிரண்டு விழுகிறது என்று படம் பிடித்து, ஏன் அப்படி என்று தர்க்கித்து ஆராய்ச்சி கட்டுரை எழுதியுள்ளனர். சாதாரண வளையம் நீரை எதிர்த்து (புவியீர்ப்பினால்) விழுகையில், சமமாக எதிர்உராய்வுவிசை அதன் புரங்களில் இயங்கும். மோபியஸ் பட்டை முறுகலுடன் இருப்பதால், விசை பல கோணங்களில் இயங்கி, பட்டையை விழுகையில் சுருட்டி, நிச்சயம் கரணம் அடிக்கச்செய்யும். படத்தில் உள்ளதுபோல.

அறிவியலில் மேலும் பல துறைகளில் நேரடியாக இந்த விந்தை பொருளை உபயோகிக்க முயன்றுள்ளனர். பல படிமங்களில் உதாரணங்கள் உள்ளது. மேலும் ஒன்றிரண்டு மட்டும் சுருக்கிவரைகிறேன்.

நிகோலாய் டெஸ்லா மோபியஸ் பட்டை உருவில் ஒரு எலக்ட்ரிகல் ரெஸிஸ்டர் செய்வதற்கு அடிகோலினார். இரண்டு மின்கடத்திகளை நடுவில் இன்சுலேட்டர் வைத்து இணத்து மோபியஸ் பட்டையாய் முறுக்கிய இவ்வகை ரெஸிஸ்டரில் மின்சாரம் செல்வதினால் ஏற்படும் செல்ஃப் இன்டெக்டன்ஸ் எனப்படும் சுய எதிர் மின்காந்தவிசை மிச்சம் இருக்காது. தற்போது பேடன்ட் இருக்கிறது. எங்கு உபயோகமாகிறது என்று தெரியவில்லை. மேலும் இதைப்பற்றி படிக்க இந்த சுட்டியை தொடருங்கள்.

சூரிய புயல்காற்று பற்றி கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். புரோட்டான், எலக்ட்ரான் முதலிய மின்துகள்களினால் (சார்ஜ்டு பார்டிகிள்ஸ்) ஆன பிளாஸ்மா பொருள். தொடர்ந்து சூரியனில் இருந்து அனைத்து திசைகளிலும் வெளிப்படும் அதிவேக புயல். உலகின்மீது இவை தாக்காமல், பூமியின் புவிகாந்தப்புலம் முடிந்தமட்டிலும் தடுத்துவிடுகிறது. தாண்டி, வீரியம் குறையாமல் உள்ளே வரும் சூரிய காற்றே அரோரா (ஆராரொ இல்லை) போரியலிஸ், அரோரா ஆஸ்ட்ரலிஸ். துருவப் பிரதேசங்களில் நிகழும் இயற்கை புவி-மின்காந்த-சூரிய-ப்ளாஸ்மா சங்கம வாணவேடிக்கைகள்.

இது எதற்கு இப்போது என்றால், இவ்வகை மின்துகள் அடங்கிய பிளாஸ்மா எவ்வாறு புவிமின்காந்தப்புலனுடன் சங்கமிக்கிறது என்று வானியலாளார்கள் இன்றும் ஆராய்ந்துகொண்டிருக்கின்றனர். வர்சுவல் ரியாலிடியை வைத்து கணினியில் மாதிரித்து (மந்திரித்து போல மாதிரித்து) மின்துகள்கள் காந்தபுலனில் ஊடுருவி பயணிப்பது எப்படி என்று அனுமானிக்கின்றனர். புலன் இட மதிப்பில் சிறு மாறுதல்கள் ஏற்பட்டாலும் துகள் பாதை மாறி போய்விடும். முன்னர் கட்டுரையில் வண்னத்துப்பூச்சி விளைவு என்று எழுதினோம் நினைவிருக்கலாம். கேயாஸ் தியரியின், அதே மேட்டர்தான். இங்கும் நடக்கிறது. மின்துகள்களின் பாதை கேயாடிக்காக, தொடர்ந்து அனுமானிக்கமுடியாத குழப்பமாக, மாறும்முன் அவை வெளியில் (ஸ்பேசில்) பயணிக்கும் வளைகோடுகள் மோபியஸ் பட்டையாம். அருகில் படத்தில் பாருங்கள்.

மேலும், மோபியஸ் பட்டையான பாதை நடுவில் கிழிந்து இளைத்த, ஆனால் பெரிய மோபியஸ் பட்டையாகி, நாம் சிம்பிளாக காகிதத்தில் கட்டுரையில் மேலே செய்த பொருளைப்போலவே பாதைகளை கடந்து குழப்பமடைகிறதாம்.

அது எப்படிவேனா குழம்பட்டும், நமக்கு அதைப்பற்றி படித்தாலே குழம்பிவிடுகிறது என்கிறீர்களா, பரவாயில்லை. கட்டுரையில் இதுவரை என்னுடன் ஏக் தம்மில் தொடர்ந்து வந்திருந்தீர்கள் என்றால் நன்றி.

அறிவியல் மட்டுமல்ல, விஞ்ஞான புனைவு கதைகளிலும் மோபியஸ் பட்டை கிளப்பியுள்ளது. 1949இலேயே ஆர்தர் கிளர்க் தன் வால் ஆஃப் டார்க்னஸ் என்ற சிறுகதையில் மோபியஸ் பட்டையைபோல் ஆனால் முப்பரிமாணத்தில் இருக்கும் ஒரு உலகை எழுதினார். கதையில் தங்கள் உலகின் ஓரத்தில் படிக்கட்டு செய்து மேல் உலகிற்கு செல்லமுயன்று, படியில் ஏறி ஏறி மீண்டும் தங்கள் உலகிற்கே வந்துவிட்டிருப்பதை உணர்ந்து, வெறுத்துப்போய், படிக்கட்டை வெடிவைத்து தகர்த்துவிட்டு, நம் நிலை இதுதான் என்று மனம் சாந்தி அடைகின்றனர். அதேபோல ஏ. ஜே. டாயிஷ் எழுதிய மற்றொரு கதையில் போஸ்டன் நகரில் ரயில்பாதை அமைக்கையில், பல பாதைகள் குறுக்கே சென்று குழப்பம் ஏற்பட்டு, பாதை மோபியஸ் பட்டையாகி, டிக்கெட் வாங்கிக்கொண்டு உட்கார்ந்த ரயில் பக்கத்து ஸ்டேஷன் போகாமல் காணாமல்போய்…

அடுத்ததாக இசையில் மேலைநாட்டு சங்கீதத்தின் இரண்டு ஸ்வர கார்டுகளின் (2 note chords, இவற்றிற்கு டயாட், dyad, என்று பெயர்) வெளி ஒரு மோபியஸ் பட்டை (நம் இளையராஜா நிறைய டயாடுகள் உபயோகித்துள்ளார் – உதாரணம், பூந்தளிர் ஆட பாட்டின் கிட்டார் தொடக்கம்); எப்படி யோஹன் ஸெபாஸ்டியன் பா(ஹ்)க்கின் (J. S. Bach) மியூசிக்கல் ஆஃபரிங் எனப்படும் இசை கம்பொசிஷனில் ஒரு கெனானின் (canon – ஒரு இசைவடிவம்) ஸ்வரக்கோர்வைகள், தொடக்கம்-முடிவாய், முடிவே புரட்டி தொடக்கமாய், மோபியஸ் பட்டையில் எழுதக்கூடியவையாக இருக்கிறது…. இப்படி பட்டையை பற்றி எழுதிக்கொண்டே போகலாம். முத்தாய்ப்பாய் ஒரு விஷயம் கூறி முடிக்கிறேன்.

மோபியஸ் பட்டை மூன்றாவது பரிமாணத்தின் வழியாய் அரை முறுகல் செய்து, இரு பரிமாணத்தில் இருக்கும் வஸ்து. ஒரு படிமம் ஏற்றி, முப்பரிமாணத்தில் குழாய்போல் இருக்கும் கணப்பொருள் ஒன்றை முறுக்கி உள்ளே வெளியே வித்தியாசமில்லாதபடி அதன் ஓரப் பரப்புகளை சேர்த்தால் கிடைக்கும் பொருளின் முப்பரிமாண புரொஜெக்‌ஷன் (டோப்பாலஜியில், இம்மெர்ஷன் என்பார்கள்; லூசில் விடுவோம்) என்ன தெரியுமா. பெயர் க்ளைன் பாட்டில் (Klein Bottle).

அதாவது, அருகருகே இரண்டு மோபியஸ் பட்டைகளை வைத்து ஓரங்களை ஒட்டினால் (முடியாது) கிடைக்கும் வஸ்து, க்ளைன் பாட்டில் (Klein Bottle).

இதை வீட்டில், காகிதத்தில் செய்வது கடினம். இந்த முப்பரிமாண புரொஜெக்‌ஷன் எப்படி இருக்கும் என்று பார்க்க மென்பொருளைக்கொண்டு கணினியில் வரைந்த அபாரமான அனிமேஷன் இருக்கிறது.

YouTube சுட்டி

நிஜத்தில் இந்த பாட்டிலை ஆலையின் கிளாஸ் பிளோயிங் செக்‌ஷனில் கொடுத்து செய்யமுடியுமா? முடியும். இப்படி இருக்கும்.

அக்மி க்ளைன் என்கிற கம்பெனி இதைசெய்கிறது. ஆர்டர் செய்தால் அன்றே டெலிவரியாம். உலகின் மிகப்பெரிய க்ளைன் பாட்டிலையும் (1.1 மீட்டர் உயரம்) அவர்களே செய்துள்ளனர். இதன் தொழில்நுட்பத்தை இந்த பக்கத்தில் படித்துப்பார்த்து வியந்துகொள்ளுங்கள்.

முடிக்கும் முன் கொசுறாக: கவனித்தீர்களோ, நம் தளத்தின் மேல் பேனர் படத்தில் இந்திய கொடியில் அசோக சக்கரத்திற்கு பதில் இடம்பெற்றிருப்பது மோபியஸ் பட்டைதான். பக்கத்தில் க்ளைன் பாட்டில்.

எல்லாம் சரி, இவ்வகை க்ளைன் பாட்டிலில் ஊற்றி நீர் பருக முடியுமா? யோசித்துவையுங்கள். அடுத்த கட்டுரையில் (வேறு ஏதாவது விஷயம்) பார்ப்போம்.

டோப்பாலஜி என்பது தொடர்ச்சியாக உருமாறும் பொருட்களின் எத்தன்மைகள் அல்லது குணங்கள் மாறுபடாமல் இருக்கிறது என்பது பற்றி படிக்கும் கணிதவியலின் ஒரு பிரிவு. டோப்பாலஜிக்கு  தமிழில் இடவியல் என்கிறார்கள்; எனக்கென்னவோ இதை வடைவியல் என்றும் கூறலாமே என ஆசை. சென்ற கட்டுரையில் இதைப்பற்றி அறிமுகப்படுத்திக்கொண்டவர்களுக்கு ஏன் என்று புரியும். வேடிக்கை தாண்டி, இங்கு, அந்த டோப்பாலஜி எப்படி தோன்றியது என்றும் கூடவே கிராஃப் தியரி பற்றியும் பார்ப்போம். ஒரு சுவையான கதை உள்ளது.

முன்னொருகாலத்தில் ஜெர்மனியில் கோனிங்ஸ்பெர்க் (Koningsberg) என்ற ஊர் இருந்தது (இன்று இல்லை. இரண்டாம் உலகப்போரில் தரைமட்டமாக்கப்பட்டது. இப்போது இவ்விடத்தில் உள்ளது புது நகரம் கலினின்கிராடு). கெமூட்டுலிஷே கஸ்ட்ஸ்டெட்டெ (gemütliche gaststätte) என சிலாகிக்கப்படும் மதுபானங்கள் பொங்கிவழியும் சத்திரங்களடங்கியது கோனிங்ஸ்பெர்க். இந்நகரத்தின் குறுக்கே (இ)ப்ரெஜல் என்ற நதி ஓடியது. நதிக்கு குறுக்கே ஊரில் விநோத அமைப்பில் ஏழு பாலங்கள் இருந்தன. நான்கு பாலங்கள் நதியின் நடுவே நெய்ப்பாஃப் (Kneiphof) என்ற தீவுடன் நகரத்தினை இணைத்தபடி. மற்ற இரண்டு அருகில் இருந்த மற்றொரு தீவை நகரத்து மத்தியுடன் இணைத்தும், மிச்சமொன்று இரு தீவுகளுக்கு குறுக்கே செல்லும் நதியின் மேலுமாக, அருகிலுள்ள படத்தில் உள்ளபடி.

படத்தில் (அ) அன்று இருந்த கோனிங்ஸ்பெர்கின் வரைபடத்தின் மேல் நிஜமாக பாலங்கள் எவ்வாறு இருந்தன என்று காட்டுகிறது [படம் உபயம்: விக்கிபீடியா].

கோனிங்ஸ்பெர்கில் மாலையில் காலார உலாத்துபவர்கள் ஏழு பாலங்களையும் தங்கள் நடையினுடே ஒரு தடவையில் கடந்துவிட எத்தனித்தார்கள். எப்படிச் சுற்றி வந்தும் ஒரே நடையில் ஏழு பாலங்களையும் ஒரு முறை மட்டும் கடந்துசெல்ல முடியவில்லை. ஏழையும் பயணிக்க அட்லீஸ்ட் ஒன்றையாவது இரண்டாவது முறை (மறுபடியும்) கடந்தாகவேண்டியிருந்தது. விஷயம் தீர்க்க முடியாத ’நடை’முறைப் புதிரானது.

இஃகிதிப்படியாங்கிருக்க, கணிதமேதை என்று இன்று பலராலும் ஒத்துக்கொள்ளப்படும் லியனார்ட் ஆய்லர் (Euler – யூலர் என்று படிக்கக்கூடாது) பக்கத்தில் செயின்ட்பீட்டர்ஸ்பெர்கில், மாகாராணி கேத்தரினின் சபையை அலங்கரித்திருந்தார். புதிர் அவர் காதிற்கும் எட்டியது. சில காலங்கள் யோசித்துவிட்டு விடையை மகாராணி காத்தரினின் சபையில் 1735ஆம் வருடம் ஆகஸ்ட் 26 அன்று சமர்ப்பித்து வாசித்தார். ஆய்லரின் ஒரிஜினல் கட்டுரை இணைய பெட்டகத்தில் http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html என்ற பக்கத்தில் ஆங்கிலத்தில் படித்துக்கொள்ளலாம்.

என்ன விடை? நிச்சயம் ஒரே நடை பிரயாணத்தில் ஏழு பாலங்களையும் ஒரு முறை மட்டும் கடந்து செல்ல முடியாது என்பதே. இதற்கு கணிதவியல்படி விளக்கமும் அளித்தார். அவரது அந்த விளக்கத்தினூடே தோன்றியதுதான் டோப்பாலஜியும் (இடவியல்), கிராஃப் தியரியும் (வரைகோலவியல்).

ஆய்லர் முக்கியமாக உணர்ந்தது பாலங்களின் தூரமோ, உருவமோ, இடையில் இருக்கும் ரோடுகளின் தூரமோ புதிரின் சரியான விடையைக் காணத் தேவையில்லை என்பதே. டோப்பாலஜியில் தூரங்களைப்பற்றி கவலையில்லை; எது எதற்கிடையே இருக்கிறது, உள்ளேயா வெளியேயா என்பதுபோன்ற குணங்கள் புரிந்தால் போதும் என்று ( சென்ற கட்டுரையில்) கூறினோம். ஆய்லரும் இதைத்தான் மறைமுகமாக செய்துள்ளார் பாருங்கள். எப்படியென்றால், முதல் படத்தில் காட்டியபடி நிஜமான மேப்பில் உள்ள பாலங்களை, (அ)வில் இருந்து (ஆ) வழியாக (இ)க்கு மாற்றினாலும் புதிர் அப்படியேதான் இருக்கும். (அ)விற்கு பதில் (இ)படத்தில் இருக்கும் கிராஃப் (வரைகோல) படத்திற்கு விடையே புதிருக்கான விடை. முதல் படத்தில் (இ)யை மட்டும் பெரிதாக்கி கீழே கொடுத்துள்ளேன்.

கோனிங்ஸ்பெர்க் பாலங்கள் புதிரை எளிமையான புரிதலுக்கு உட்படுமாறு செய்து ஒரு தாளுக்குள் அடங்கும் புள்ளிகளை சேர்க்கும் வரைகோலமாக பார்க்கையில் இப்படிக் கேட்கலாம்: ABCD என்ற இந்த நான்கு உச்சிப்புள்ளிகளையும் (வெர்டெக்ஸுகளையும்) இணைக்கும் ஏழு வளைகோடுகளையும் தாளிலிருந்து கையை எடுக்காமல், ஒரே தடவை மட்டும் வரைந்து (ஏற்கனவே வரைந்த கோடுகளின் மீது மீண்டும் செல்லாமல்) பூர்த்தி செய்ய முடியுமா?

ஆய்லரின் பதில்: முடியாது.

இதைப்பற்றி யோசிக்கையில் ஆய்லர் வரைகோலங்களின் சில  பொதுவான பண்புகளை கண்டுணர்ந்தார். வரைகோலத்தில் ஒரு உச்சிப்புள்ளியில் ஒன்று, மூன்று என்று வளைகோடுகள் வந்தடைந்தால், அது ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளி (odd வெர்டெக்ஸ்). இரண்டு, நான்கு என்று வளைகோடுகள் வந்தடைந்தால், இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகள் (even வெர்டெக்ஸ்). ஆய்லர் முதலில் கண்டுணர்ந்தது, இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளால் மட்டும் ஆன வரைகோலங்களை தாளில் மொத்தமாக வரைந்து, ஆரம்பித்த இடத்திற்கே கையை எடுக்காமல் மீண்டும் வர முடியும் என்பதே.

அதேபோல இரண்டு ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகள் மட்டும் கொண்ட வரைகோலங்களையும் இவ்வாறு வரைய முடியும். தொடங்கிய இடத்திற்கு மட்டும் வர முடியாது (ஆனால் வரைகோலம் முழுவதும் வரைந்து விடமுடியும்).

இவ்வகையில் விடைகளை நீட்சிசெய்துகொண்டே செல்கையில், ஆய்லர் பொதுவாக வரைகோலங்களை பற்றிய ஒரு ஆழ்ந்த உண்மையையும் கண்டார்: ஒரு வரைகோலம் 2n ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளை கொண்டது என்றால் அதை வரைய n தனியான பயணங்கள் வேண்டும்.

அதாவது, இவ்வகை வரைகோலம் ஒன்றை தாளில் வரைகையில் இரண்டு (n = 2) தனியான பயணங்கள் என்றால், ஒரு முறையாவது பென்சிலை தாளைவிட்டு எடுக்க வேண்டும்; மூன்று (n = 3) தனியான பயணங்கள் செய்து வரைகோலத்தை செய்யமுழுவதும் வரைய, இரண்டு முறையாவது பென்சிலை தாளைவிட்டு எடுக்க வேண்டும். புரியும் என்று நினைக்கிறேன்.

இப்போது நம் கோனிங்ஸ்பெர்க் பாலங்களுக்கு வாருங்கள். இதற்குச் சமமான மேலே காட்டப்பட்டுள்ள வரைகோலத்தில் அனைத்து உச்சிப்புள்ளிகளும் ஒற்றைப்படையே (உதாரணம்: A – 3; B – 5). ஆகவே இந்த வரைகோலத்தை மொத்தமாக வரைவதற்கு 2n = 2 x 2; அதாவது, 2 தனியான பயணங்கள் தேவை. ஒரே தடவை தாளில் பயணித்து, கையை (பென்சிலை தாளிலிருந்து) எடுக்காமல் இப்படத்தை போட முடியாது.

கோனிங்ஸ்பெர்கின் ஏழு பாலங்களையும் ஒரு முறை மட்டும், ஒரே பயணத்தில் கடந்து செல்ல முடியாது.

*****

பின் எப்படித்தான் ஏழு பாலங்களையும் கடப்பது என்ற கேள்விக்கு சுலபமாக ஒரு பதிலையும் கூறினார் ஆய்லர். என்ன அது? ஏழு பாலங்களையும் ஒரே நடையில் கடக்க எட்டாவது பாலம் ஒன்றை அமைத்தால் போதும். விளையாட்டில்லை, படத்தில் பாருங்கள்

எட்டாவதாக, ACஐ இணைப்பதுபோல ஒரு பாலம் அமைத்தால் போதும். நான்கு உச்சிப்புள்ளிகளில் இரண்டு (Aவும் Cயும்), இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளாக மாறிவிடும். மிச்ச இரண்டு முன்போல் ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளாய் இருக்கும். ஆனால், ஆய்லர் ஏற்கனவே கண்டுணர்ந்தது போல எட்டுப்பாலங்கள் அடங்கிய இந்த வரைகோலம் இரண்டு ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளை கொண்டுள்ளதால் இதற்கு 2n = 2 x 1; எனவே ஒரு தனியான பயணம் போதும். இதை கையை எடுக்காமல் வரைய முடியும். என்ன, ஆரம்பித்த இடத்திற்கே முடிக்கையில் மீண்டும் வரமுடியாது. உதாரணத்திற்கு, Bயில் தொடங்கினால் Dயில் முடிப்போம், Dயில் தொடங்கினால் Bயில் முடிப்போம். செய்து பாருங்கள்.

எட்டு வேண்டாம், ஏழு பாலங்களை மட்டும் வைத்து விடைகாணவே முடியாதா என்றால், முடியும். முதல் படத்தில் உள்ள BDக்கு குறுக்காக உள்ள பாலத்தை நீக்கிவிட்டு, அந்த ஏழாவது பாலத்தை ACக்கு குறுக்காக போட்டுவிட்டால், முடியும். இப்படி செய்வதால் அனைத்து உச்சிப்புள்ளிகளும் இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகள் ஆகிவிடுமல்லவா.

கையை எடுக்காமல் தாளில் மேலே உள்ள படத்தை போட்டுத்தான் பாருங்களேன். நிச்சயம் முடியும்.

*****

ஆய்லரின் வரைகோல தாத்பர்யங்கள் பல பண்டைகால புதிர்களின் சாரம்சமும் கூட. உதாரணமாக முகமதீயர்கள், கிறித்துவர்கள், இந்துக்கள், பிதகோரியர்கள், கபாலிஸ்டுகள் என பலராலும் ஒரு வகையில் முக்கியமாக கருதப்படும் இந்த வரைகோலத்தை, கையை எடுக்காமல் போட முடியும்.

ஆனால், அதைவிட எளியது என்று தோன்றும் இதை வரைய கையை ஒருமுறை எடுக்க வேண்டும்.

நீட்சியாக, மிகவும் கடினமோ என்று பார்வைக்கு தோன்றும் இதை வரைய கையை எடுக்க வேண்டாம். முயன்று பாருங்கள்.

விடையை பின்னூட்டத்தில் தெரிவியுங்கள் (நீங்கள் வரைந்த உச்சிப்புள்ளிகளின் ஆங்கில எழுத்து வரிசையை தெரிவித்தால் போதும்; AFJK… என்பது போல). சரியான விடையை சொல்பவர்களுக்கு, அவர்கள் எந்த அறிவியல் விஷயத்தை பற்றி எழுதச்சொல்கிறார்களோ அதை (எனக்குத் தெரிந்தவரை) இத்தளத்தில் எழுதுகிறேன் என்று கூறி சைபர்-பேரிகைகள் முழங்க இன்றே பரிசளிக்கிறேன்.

*****

கோனிங்ஸ்பெர்கின் ஏழு பாலங்கள் வரைகோல புதிர் டோப்பாலஜியாகவும், கிராஃப் தியரியாக விரிந்து இன்று பலவாறாக உபயோகப்படுகிறது. இதன் டோப்பாலஜி பயன்கள் பற்றி முன் கட்டுரையில் பார்த்தோம். ஆப்டிமைசேஷன் தியரியில் டிராவலிங் சேல்ஸ்மேன் கணக்கு (விக்கிப்பீடியா பக்கம்) என்று ஒன்று உள்ளது. மெடிக்கல் ரெப்ரசென்டேடிவ் ஒருவர் ஒன்றிற்கொன்று வெவ்வேறு தொலைவுகளில் இருக்கும் பல நகரங்களை அடைந்து மாத்திரை விற்க வேண்டும் என்றால், எப்படி குறைவான பயண தூரத்தை முன்னரே கண்டுகொள்வது என்பது இந்த கணக்கின் சாராம்சம். அப்ளைடு மாத்தமாட்டிக்ஸ் சார்ந்த துறைகளில் தடுக்கி விழுந்தால் இவ்வகை கணக்கிற்கு பல ரூபங்களில் பல நாமகரணங்கள் சூட்டி சிலாகித்து கிராஃப் தியரியும் ஆப்டிமைசேஷன் அல்காரிதங்களும் கொண்டு பிஎச்டி செய்து தீர்வுகண்டு உவகை எய்துவது இன்றைய தின நிகழ்வு.

ஆய்லரின் இதே கிராஃப் தியரியை சற்று மாறிப்போட்டு ஒன்றுக்கொன்று பொதுவான எல்லைகள் உடைய தேசங்கள் (அல்லது மாநிலங்கள்) அடங்கிய வரைபடத்திற்கு குறைந்த நிறங்களை கொண்டு குழப்பம் வராமல் கலர் அடிப்பது எப்படி என்பது போன்ற சுவையான புதிர்களும், விடைகளும் இருக்கிறது. பிரிதோர் சமயம் பார்ப்போம்.

ஆறுகட்ட பிரிவும் எர்டாஸ் எண்ணும் என்ற கட்டுரையில் விளக்கிய ஸ்மால் வோர்ல்ட் நெட்வொர்க் சமாசாரத்தையும், இங்கு விவரித்துள்ள கிராஃப் தியரியையும் இணைத்து, மூளையின் நெட்வொர்குகள் எப்படி வேலை செய்கிறது என்பதை விளக்க ஒரு ஆராய்ச்சி கட்டுரை 2007இல் வெளிவந்துள்ளது. ஆங்கில வடிவம் இலவசமாக இங்கு உள்ளது http://www.nonlinearbiomedphys.com/content/1/1/3 மேட்டர் என்ன என்று இன்னொரு சமயம் படித்துவிட்டு விளக்குகிறேன் (எனக்கு இப்போது அயோமயமாகத்தான் புரிகிறது).

வீட்டுவாசலை தினமும் காலையில் பெருக்கி சுத்தம் செய்து நீர் தெளித்து சாணம்மொழுகி முப்பதுக்கு முப்பது புள்ளிவைத்து காலால் மிதித்துவிடாமல் அதேசமயம் ஒருபுள்ளியையும் மிச்சம் வைக்காமல் சடுதியில் நெளிநெளியாய் மாக்கோலம் போடும் அறிவார்த்த பெண்டீருடன் புழங்கும் நமக்கொன்றும் கற்றுக்கொள்ள ஆயிலரின் வரைகோல கணிதவியல் கடினமல்ல. ஆயிலர் 1735இல் தோற்றுவித்த இடவியலும், வரைகோலவியலும் ஒருநாள் நம் ஊர் பள்ளிப் பாடத்தில் வருகையில், நம் சந்ததியினர் மெதுவடையையும், புள்ளிக்கோலங்களையும் தொலைத்துவிட்டிருக்கலாம்.

பள்ளியில் பதினொன்றாம் வகுப்பில் முதல் நாள். அடியேன் சகாக்களுடன் முதல் பெஞ்சில் மிதப்பாக அளவளாவியபடி இருக்க, வந்தார் கணக்கு வாத்தியார். சில உபயகுசலோபுரிகளுக்கு பிறகு நான் நூத்துக்குநூறு புத்தக-பிரதி-வாந்தி-கேஸ் என்று தெரிந்து, வட்டம் என்றால் எது என்று விவரிக்க முடியுமா என்றார். நானும் ரோஷமாக ஆங்கிலத்தில் யோசித்துவிட்டு, ஒரு பரப்பில் வாழும், ஆரம்பமும் முடிவும் இல்லாத ஒரு வளைகோடு என்றேன்.

தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளாமல் ஆனால் கச்சமுச்சா என்று ஒரு கிறுக்கலை போர்ட்டில் வரைந்து, மறக்காமல் தொடங்கிய புள்ளியையும் முடிக்கும் புள்ளியையும் சேர்த்துவிட்டு (படத்தில் (அ)), புன்சிரிப்புடன் நீ சொன்ன விளக்கம் படி இது வட்டம்தானே என்றார் வாத்தியார்.

விக்கித்து, விகசித்து கோஆப்டெக்ஸ் தள்ளுபடியில் வாங்கி நனைத்த முண்டா பனியன் போல இரண்டடி சுருங்கி நின்றேன். ச, மவனே, வட்டம்னா என்னன்னுகூட சொதப்பாம சொல்ல வரல நமக்கு; படித்து என்ன பன்னபோறோம். என் கண்ணில் நீர் முட்டியது.

என்னுடைய சுருக்கத்தை பார்த்து உடனே அவரே நீ சொன்னது கரெக்ட்தான், ஆனால் அந்த மாதிரி ஒரு ஆரம்ப முடிவில்லா வரைகோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் உள்ளே இருக்கும் ஒரு லோகசில் (புள்ளி) இருந்து சம தொலைவில் இருக்க வேண்டும் என்ற கண்டிஷனையும் சேர்த்துச் சொன்னால் அது வட்டம் என்று விளக்கி தட்டிக்கொடுத்தார்.

இன்று உபாத்தியார் அந்த கிறுக்கலால் என்னை மடக்கியிருக்க முடியாது. அடித்து (வாயால்தான்) கூறியிருப்பேன். ஆமாம் நீர் கிறுக்கலாக வரைந்ததும் வட்டம் தான் என்று. டோப்பாலஜி படி.

அது என்ன டோப்பாலஜி, வழுக்கை விழுந்தவர்கள் உபயோகிப்பதை படிப்பதா என்கிறீர்களா. இல்லை. கணிதவியலில் ஒரு இக்கால பிரிவு. ஒருவேளை இதை படித்தால் டோப்பா தேவைப்படுமோ என்னவோ.

டோப்பாலஜி என்பது தொடர்ச்சியாக உருமாறும் பொருட்களின் எத்தன்மைகள் அல்லது குணங்கள் மாறுபடாமல் இருக்கிறது என்பது பற்றி படிப்பது. சாதாரண வடிவியலில் (ஜியாமெட்ரி) அளவுகள், கோணங்கள் பிரதானம். டோப்பாலஜி ஒரு ரப்பர் ஷீட் வடிவியல். இதில் எவ்வளவு தூரம், எவ்வளவு கோணம், எவ்வளவு பெரிசு என்றெல்லாம் கேட்கமுடியாது. பதில் கிடைக்காது. மாறாக எங்கு உள்ளது, எதற்கிடையே உள்ளது, எது உட்புறம் எது வெளிப்புறம் என்ற கேள்விகளுக்கு பதில் உண்டு.

உதாரணமாக, இங்கிருந்து சிவசாமி வீட்டிற்கு எம்புட்டு தூரம்ங்க என்று கேட்டு பதில் இரண்டு மைல் என்று வாங்கிக்கொண்டால் அது நாம் பள்ளியில் படிக்கும் மெட்ரிக் வடிவியல். கேள்வியை மாற்றிப்போட்டு சிவசாமி வூட்டாண்ட எப்படிப்போவனுங்க என்று கேட்டு இப்படியே ரோடுபோவுதுபார் அதுல போயி இரண்டா பிரியர இடத்துல சோத்தாங்கைபக்கமா திரும்பி நடக்கசொல்ல பீச்சாங்கைபக்கத்துல வரும் என்று பதிலாக பெற்றால் அது டோப்பாலஜி. பதிலில் எங்கும் சிவசாமி வீட்டிற்கு எவ்வளவு தூரம் என்று சொல்லவில்லை. தொலைவு இரண்டு அல்லது நான்கு மைலாக இருக்கலாம். ரோடு நேராகவோ வளைந்தோ இருக்கலாம். ஆனால் இங்கிருந்து சிவசாமி வீட்டிற்கு ரோடு பிரியும் இடம் வராமல் போகமுடியாது என்று மட்டும் தெரிகிறது. புள்ளிகளின் ரிலேடிவ் இடங்கள் மட்டும் மாறவில்லை. ஆனால் நீளலாம் குறையலாம். இது டோப்பாலஜி. ரப்பர் ஷீட் வரிவியல்.

மீண்டும் முதல் படத்திற்கும் என் வாத்தியாரின் கிறுக்கலுக்கும் வாருங்கள். ஒரு சம தளத்தில் வாழும் எந்த தொடக்கம்-முடிவு இல்லா வளைகோட்டையும் வட்டமாக பாவிக்கமுடியும் என்கிறது டோப்பாலஜி. வட்டம் என்பது இவ்வகை வளைகோடுகளின் ஸ்பெஷல் வகை. அவ்வளவுதான்.

இன்னொரு நரம்படி உதாரணம் கொடுக்கவேண்டும் என்றால், அருகில் உள்ள படத்தை பாருங்கள்.

எட்வர்ட் காஸ்னர் கூறிய உதாரணத்தை சார்ந்து, அதில் உள்ள படம் கையை எடுக்காமல் ஒரே வளைகோட்டைகொண்டு (கணினியில், அடியேனால்) வரையப்பட்டது. அந்த வளைகோடும் தன்னைத்தானே ஒரு முறையும் வெட்டிக்கொள்ளவில்லை, இல்லையா? அதுவும் டோப்பாலஜிபடி வட்டத்துடன் சமநிலைதான். என்ன கொஞ்சம் அதிகமாக தட்டி கொட்டி சரிசெய்யவேண்டும், வட்டமாக்குவதற்கு. ஆனால், எப்புள்ளியையும் நீக்கத் தேவையில்லை. படத்தை கிழிக்க வேண்டாம்.

இப்படி தன்னையே குறுக்கே வெட்டிக்கொள்ளாமல், முதல் முதல் முதல் வரை வரையப்பட்டுள்ள அனைத்து வளைகோடுகளும் டோப்பாலஜியில், சிம்ப்ளி கனெக்டெட் என்று விளிப்பார்கள். எளிமையான சேர்க்கை பண்புடையவை. அனைத்தும் வட்டத்திற்கு சமநிலை. படத்தில் சிவப்பிந்தியர் தோன்றும் வளைகோடு வட்டமானாலும், புள்ளி B புள்ளி A மற்றும் புள்ளி Cயின் இடையேதான் இருக்கும். தூரம் வேண்டுமானால் மாறலாம், ஆனால் நிச்சயமாக இடையேதான் எங்கோ இருக்கும். இதுதான் சிம்ப்ளி கனெக்டெட், எளிமையான சேர்க்கையுடைய டோப்பாலஜிகல் வெளியின் (ஸ்பேசின்) முதல் பண்பு. வளைகோடுகளின் இந்த குணத்திற்கு ஹோமியோமார்ஃபிஸம் என்று பெயர். இரண்டு பொருள்களுக்கு இக்குணம், பண்பு, வேறுபடுகிறது என்றால் அவை டோப்பாலஜியில் சமநிலையற்றவை.

வளைகோடுகளின் எளிமையான சேர்க்கை என்ற டோப்பாலஜி பண்பின் உபயோகமே, அது வாழும் தளத்தை (பிளேனை) ஓர் உட்புறமாகவும் ஓர் வெளிப்புறமாகவும் பிரித்துவிடுகிறது எனலாம். இதன் உபரி உபயோகம்: வீட்டில் அடுத்தமுறை அம்மணிக்காக சப்பாத்தி இடுகையில், அமீபா ஷேப்பில் எப்படி வந்தாலும் டோப்பாலஜிபடி அது வட்டம்தான் என்று  சொல்லிப்பார்க்கலாம் (குழவியை மறைத்தபடி).

சரி, ஆரம்ப-முடிவற்ற வளைகோடு தன்னையே ஒரு முறை மட்டும் வெட்டிக்கொண்டால் என்னவாகும்? கிட்டத்தட்ட எட்டு போல தோன்றும். வட்டம்போல் இல்லாமல், எட்டிற்கு இரண்டு உட்புறமும் ஒரு வெளிபுறமும் சொல்லமுடியும். இந்த மாதிரி ’எட்டு’ வளைகோட்டை, அதன் ஒரு புள்ளியிலாவது வெட்டி, புரட்டி போட்டு மறுபடியும் ஒட்டாமல், அதை வட்டமாக ஆக்க முடியாது. அதனால் டோப்பாலஜிபடி எட்டு போலுள்ள வரைகோடுகள் சிம்ப்ளி கனெக்டெட் கிடையாது. வட்டத்துடன் சமநிலையற்றவை.

இதன் அடுத்த படிமம் இரு பரிமாணத்தில் யோசிப்பது. வட்டத்திற்கு உள்ளே மொத்தமாக உட்புறம் என்று சொல்லமுடியாமல், சப்பாத்தி போல் உள்ள ஒரு வட்டவில்லையின் (டிஸ்க்) நடுவில் சற்று கிழிந்திருந்தால் என்னவாகும்? படத்தில் (அ)வில் உள்ளபடி.

இந்த வட்டவில்லை பரப்பில் ஒரு உட்புறமும், உள் ஓட்டையையும் சேர்த்து, இருபுறங்களிலும் ’வெளிப்புறமும்’ இருக்கிறது.

இப்போது வில்லையின் குறுக்காக ஒரு முறை கிழித்தால் இரண்டு வெளிப்புறங்களும் கிழிந்த இடம் வழியாக சேர்ந்து ஒரே வெளிப்புறமாகிவிடும். கிழிந்த வில்லை, கிழியாத பட்டையாகிவிடும். படத்தில் (ஆ)வில் இருந்து (இ)யாக. அதாவது, டோப்பாலஜிபடி, ஓரு ஓட்டையுடன் அமைந்த வட்டவில்லைகளை, ஒரு வெட்டு போடாமல் (ஒரு முறையேனும் கிழிக்காமல்) பட்டையாக, சிம்ப்ளி கனெக்டெடாக, வட்டத்தின் சமநிலையாக செய்யமுடியாது.

மைலை கற்பகாம்பாளில் மெதுவடை சாப்பிட்டிருக்கிறீர்களா? அங்கு இல்லையெனினும், அட்லீஸ்ட் நிச்சயம் மெதுவடை சாப்பிட்டிருப்பீர்கள். நடுவில் ஒரு துளையுடன் இருக்கும் அந்த மெதுவடை மேலே கூறிய வில்லையின் முப்பரிமாண சமபொருள். இருபரிமாண டோப்பலாஜிகல் மனிஃபோல்டு என்பார்கள்.

உளுந்து சரியாக ஊறாது, மெதுவடை பிடிக்கவில்லை என்றால் டோப்பாலஜியின் ஹோமியோமார்ஃபிசம் உபயத்தில் அதையே காப்பி கோப்பையாக மாற்றி ஒரு டபிள் ஸ்ட்ராங் காப்பி குடிக்கலாம். எப்படி என்றால், இப்படி:

[படம் ஆதாரம்: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mug_and_Torus_morph.gif ]

டோப்பாலஜிபடி ஒரு துளையுள்ள எந்த கணப்பொருளும் ஹோமியோமார்ஃபிசம் செய்யவல்ல சமநிலையுள்ளவை. வளையல், ஒட்டியாணம், மோதிரம், சிறுவயதில் உருட்டிக்கொண்டு ஓடிய டயர், விளையாடிய ரிங் பால், டோரஸ் (torus), மெதுவடை அனைத்தும் இருபரிமாண டோப்பலாஜிகல் மனிஃபோல்டுகள்தாம்.

டோப்பாலஜியையும் அதன் பண்புகளையும் உபயோகித்து உருண்டை உலகிற்கு எப்படி சுருக்கி ஆனால் துல்லியமாக இருபரிமாண தாளில் சார்ட் வரைவது என்பதில் இருந்து சார்பியல் தத்துவத்தை உபயோகிக்கும் நாற்பரிமாண ஸ்பேஸ்-டைம் மானிஃபோல்ட் வரை அலசமுடியும். நாம் இந்த அறிமுகத்துடன் நிறுத்திக்கொள்ளுவோம். டோப்பாலஜி என்ற சப்ஜெக்ட் எப்படி தோன்றியது என்பதை மட்டும் அடுத்த கட்டுரையில் விளக்குவோம்.

மேலும் அறிமுகத்திற்கு (மட்டும்) இந்த விக்கிப்பீடியா பக்கங்களை படித்துப்பாருங்கள் (manifold, topology, topological spaces). பிறகு, வலையை விட்டு, புத்தகத்தையும் உங்கள் கற்பிதலையும் நாடுங்கள்.

[தொடர்பான உருளைகிழங்கு வறுவல் வடிவியல் பதிவையும் படித்துப்பாருங்கள்]

[அறிவிப்பு: காரைக்குடி அறிவியல் கருத்தரங்கத்திற்கு சமர்ப்பித்த நீட்டிக்கப்பட்ட ஆராய்ச்சியுரைச் சுருக்கம்  இங்கு கொடுத்துள்ளேன். கட்டுரையில் வரும் கலைச்சொற்களும் அதன் ஆங்கில சம வார்த்தைகளும், உரையின் கீழே  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வாசகர்களின் கருத்துக்களை வரவேற்கிறோம். சமர்ப்பித்த முழுக்கட்டுரையும், செப்டம்பர் கருத்தரங்கிற்கு முன்னால் இங்கு கொடுக்கிறேன்.]

கட்டுரையின் முழுத்தலைப்பு: உயிர்வெப்பவியல் மாதிரியை கொண்டு விழித்திரை லேசர் ரணவைத்திய சிகிச்சையின் கணினி ஒப்பியலாக்கம்
எழுதியவர்: அருண் நரசிம்மன்

மனிதனுக்கு கண் இன்றியமையாத பாகம். பார்வை கோளாரை சரிசெய்வதற்கும், காட்டராக்ட் போன்ற நோய்களை குணப்படுத்துவதற்கும் லேசர் சிகிச்சை முறைகள் தற்போது பிரபலமாகிவருகிறது. விழித்திரையின் கோளாறுகளை சரிசெய்வதற்கு லேசர் வெப்பக்கதிரை பாய்ச்சி திரையின் சில பகுதிகளை சூடாக்கி, தேவையற்ற சில உயிரணுக்களை அழிக்கும் சிகிச்சைமுறைக்கு ரெடினோபதி அல்லது விழித்திரைமுறையாக்கம் என்று பெயர். இச்சிகிச்சையில் லேசர் கதிர்கள் சுமார் இரண்டு நிமிடம் வரை பல பகுதிகளில் விழித்திரையை சூடேற்றும். இதனால், சாதாரண மனித உடம்புச்சூடான 37 டிகிரி செண்டிகிரேட் உஷ்ணத்தில் இவ்விடங்களில் இருக்கும் உயிரணுக்கள் சூடாக்கப்படும். உஷ்ணம் சுமார் 60 டிகிரி செண்டிகிரேட் ஆகுகையில் ஒளிவழிதிரளல் ஏற்படுவது மூலம் உயிரணுக்கள் தங்களின் புரத சேர்கைகளை இழந்து, செயலற்று எரிந்துவிடும்.

இந்த சிகிச்சையில் சில கடினங்கள் உள்ளன. லேசர் சூடேற்றம் விழித்திரை பகுதிகளை சரியாக 60 டிகிரி செண்டிகிரேட் உஷ்ணத்திற்கு மட்டும் கொண்டுசெல்கிறதா என்பதை துல்லியமாக நிர்ணயிக்க சரியான கருவியும், முறையும் இல்லை. ரணமருத்துவர்கள் தங்கள் அனுபவத்தில் கண் விழித்திரையின் பகுதிகளைப் பார்த்து, அது வெள்ளையாகிவிட்டதா என்று தெரிந்து சூடேற்றம் தேவையான அளவு நடந்துவிட்டது என்று கொள்வர். மேலும், விழித்திரை பகுதிகளை சூடாக்குகையில் வெப்பம் அப்பகுதிகளில் மட்டும் தங்காமல், அருகில் உள்ள விழியின் மற்ற பகுதிகளுக்கும் இயற்கையாக கடத்தப்படும். இதனால் அருகில் உள்ள பகுதிகளும், தேவையில்லாமல் அதிக சூடாகலாம். அடுத்ததாக, இவ்வகை சிகிச்சைகள் உயிருடன் உள்ள மனிதர்களிடம் செய்யப்படுவதால், விழித்திரை சூடாகுகையில், மனித மூளை தன்னிச்சையாக ஹைபொதாலமஸ் வழியாக இதை உணர்ந்து, விழித்திரையின் பின்னால் இருக்கும் விழிநடுப்படலம் எனப்படும் மைக்ரோ மற்றும் நேனோ ரத்தத் தந்துகிகளின் வழியாக அதிக ரத்தத்தை செலுத்தி, விழித்திரையை குளிரவைக்க முயலும். இவ்வகை ரத்தக் குளிர்ச்சி நிஜத்தில் விழித்திரையின் உஷ்ணத்தை குறைக்கிறதா என்பது சரிவர நிர்ணயிக்கப்படவில்லை.

இவ்வகை சிக்கல்களைத் தீர்க்க உயிருள்ள மனிதர்களிடம் சிகிச்சை நடக்கையிலேயே பரிசோதனைகள் செய்வது கடினம். இயலாது என்றும் கொள்ளலாம். சமீப காலங்களில் கணினி ஒப்பியலாக்கம் இப்படிப்பட்ட சிக்கல்களை தீர்க்க உதவுகிறது. வெப்ப இடமாற்றம் விழித்திரையில் நடப்பதையும், சார்ந்த வெப்பநிலையின் இட மற்றும் கால மாற்றங்களையும், விநியோகங்களையும் அனுமானிக்க வெப்பவியல் ஆற்றல் சமன்பாடுகள் உள்ளன. இவை பொதுவாக இருபடிய பகுதிய நுண்பகுப்பு சமன்பாடுகள். இவற்றின் அல்ஜீப்ரா வடிவ சம-மாதிரிகளை கணினி ஒப்பியலாக்க முறைப்படி தீர்வுகாண முடியும். ஆராயப்படுவது உயிருள்ள மனித விழித்திரை என்பதால், வெப்பவியல் ஆற்றல் சமன்பாடுகளும் சற்றே உருமாறி, உயிர்வெப்பவியல் சமன்பாடுகளாக மாதிரிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இவை முப்பரிமாணத்தில், ரத்த ஓட்டத்தையும், வெப்பநிலையின் மேல் அதன் விளைவுகளையும் கணக்கில் கொள்ளும் பண்புடையவை.

0.2 வாட்ஸ் திறனுடைய ஆர்கான் லேசர் கொண்டு 500 மைக்ரான் அளவில் விழித்திரையில் ஓரிடத்தில் 100 மைக்ரோ விநாடிகள் சூடாக்குகையில் விழித்திரை பகுதிகளின் வெப்பநிலையில், கால, இட, மாற்றங்கள் எவ்வாறு நிகழ்கிறது என்பதை இங்கு விளக்கியுள்ளோம். மேலும், முப்பரிமாண ஒப்பியலாக்கத்தை கொண்டு இவ்வகை 500 மைக்ரான் அளவில் பல புள்ளிகள் அருகருகே விழித்திரையை சூடாக்குகையில் வெப்பநிலை மாற்றங்கள் எவ்வாறு மாறுபடுகின்றன என்பதையும் இந்த ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையில் ஆலோசித்துள்ளோம். இவ்வகை கணினி ஒப்பியலாக்க தீர்வுகள் மருத்துவருக்கு விழித்திரை சிகிச்சைமுறைகளை மேம்படுத்த ஏதுவாகிறது என்பது இங்கு படைக்கப்பட்டுள்ள தீர்வுகள் ஊர்ஜிதப்படுத்துகின்றன.

கலைச்சொற்கள்

• ஒப்பியலாக்கம், ஒப்பியலாக்கு Simulation, Simulate
• கணினி ஒப்பியலாக்கம் Computer Simulation
• உயிர்வெப்பக்கடத்துவியல் Bioheat transfer
• உயிர்வெப்பக்கடத்துவியல் மாதிரி Bioheat transfer Model
• ஒளிவழிதிரளல் Photo-coagulation
• விழிநடுப்படலம் Choroid
• ரத்தத் தந்துகிகள் Blood Capillaries
• இருபடிய பகுதிய நுண்பகுப்பு சமன்பாடுகள் Second order partial differential equations