கோனிங்ஸ்பெர்கின் ஏழு பாலங்களும் வரைகோலங்களும்

டோப்பாலஜி என்பது தொடர்ச்சியாக உருமாறும் பொருட்களின் எத்தன்மைகள் அல்லது குணங்கள் மாறுபடாமல் இருக்கிறது என்பது பற்றி படிக்கும் கணிதவியலின் ஒரு பிரிவு. டோப்பாலஜிக்கு  தமிழில் இடவியல் என்கிறார்கள்; எனக்கென்னவோ இதை வடைவியல் என்றும் கூறலாமே என ஆசை. சென்ற கட்டுரையில் இதைப்பற்றி அறிமுகப்படுத்திக்கொண்டவர்களுக்கு ஏன் என்று புரியும். வேடிக்கை தாண்டி, இங்கு, அந்த டோப்பாலஜி எப்படி தோன்றியது என்றும் கூடவே கிராஃப் தியரி பற்றியும் பார்ப்போம். ஒரு சுவையான கதை உள்ளது.

முன்னொருகாலத்தில் ஜெர்மனியில் கோனிங்ஸ்பெர்க் (Koningsberg) என்ற ஊர் இருந்தது (இன்று இல்லை. இரண்டாம் உலகப்போரில் தரைமட்டமாக்கப்பட்டது. இப்போது இவ்விடத்தில் உள்ளது புது நகரம் கலினின்கிராடு). கெமூட்டுலிஷே கஸ்ட்ஸ்டெட்டெ (gemütliche gaststätte) என சிலாகிக்கப்படும் மதுபானங்கள் பொங்கிவழியும் சத்திரங்களடங்கியது கோனிங்ஸ்பெர்க். இந்நகரத்தின் குறுக்கே (இ)ப்ரெஜல் என்ற நதி ஓடியது. நதிக்கு குறுக்கே ஊரில் விநோத அமைப்பில் ஏழு பாலங்கள் இருந்தன. நான்கு பாலங்கள் நதியின் நடுவே நெய்ப்பாஃப் (Kneiphof) என்ற தீவுடன் நகரத்தினை இணைத்தபடி. மற்ற இரண்டு அருகில் இருந்த மற்றொரு தீவை நகரத்து மத்தியுடன் இணைத்தும், மிச்சமொன்று இரு தீவுகளுக்கு குறுக்கே செல்லும் நதியின் மேலுமாக, அருகிலுள்ள படத்தில் உள்ளபடி.

படத்தில் (அ) அன்று இருந்த கோனிங்ஸ்பெர்கின் வரைபடத்தின் மேல் நிஜமாக பாலங்கள் எவ்வாறு இருந்தன என்று காட்டுகிறது [படம் உபயம்: விக்கிபீடியா].

கோனிங்ஸ்பெர்கில் மாலையில் காலார உலாத்துபவர்கள் ஏழு பாலங்களையும் தங்கள் நடையினுடே ஒரு தடவையில் கடந்துவிட எத்தனித்தார்கள். எப்படிச் சுற்றி வந்தும் ஒரே நடையில் ஏழு பாலங்களையும் ஒரு முறை மட்டும் கடந்துசெல்ல முடியவில்லை. ஏழையும் பயணிக்க அட்லீஸ்ட் ஒன்றையாவது இரண்டாவது முறை (மறுபடியும்) கடந்தாகவேண்டியிருந்தது. விஷயம் தீர்க்க முடியாத ’நடை’முறைப் புதிரானது.

இஃகிதிப்படியாங்கிருக்க, கணிதமேதை என்று இன்று பலராலும் ஒத்துக்கொள்ளப்படும் லியனார்ட் ஆய்லர் (Euler – யூலர் என்று படிக்கக்கூடாது) பக்கத்தில் செயின்ட்பீட்டர்ஸ்பெர்கில், மாகாராணி கேத்தரினின் சபையை அலங்கரித்திருந்தார். புதிர் அவர் காதிற்கும் எட்டியது. சில காலங்கள் யோசித்துவிட்டு விடையை மகாராணி காத்தரினின் சபையில் 1735ஆம் வருடம் ஆகஸ்ட் 26 அன்று சமர்ப்பித்து வாசித்தார். ஆய்லரின் ஒரிஜினல் கட்டுரை இணைய பெட்டகத்தில் http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html என்ற பக்கத்தில் ஆங்கிலத்தில் படித்துக்கொள்ளலாம்.

என்ன விடை? நிச்சயம் ஒரே நடை பிரயாணத்தில் ஏழு பாலங்களையும் ஒரு முறை மட்டும் கடந்து செல்ல முடியாது என்பதே. இதற்கு கணிதவியல்படி விளக்கமும் அளித்தார். அவரது அந்த விளக்கத்தினூடே தோன்றியதுதான் டோப்பாலஜியும் (இடவியல்), கிராஃப் தியரியும் (வரைகோலவியல்).

ஆய்லர் முக்கியமாக உணர்ந்தது பாலங்களின் தூரமோ, உருவமோ, இடையில் இருக்கும் ரோடுகளின் தூரமோ புதிரின் சரியான விடையைக் காணத் தேவையில்லை என்பதே. டோப்பாலஜியில் தூரங்களைப்பற்றி கவலையில்லை; எது எதற்கிடையே இருக்கிறது, உள்ளேயா வெளியேயா என்பதுபோன்ற குணங்கள் புரிந்தால் போதும் என்று ( சென்ற கட்டுரையில்) கூறினோம். ஆய்லரும் இதைத்தான் மறைமுகமாக செய்துள்ளார் பாருங்கள். எப்படியென்றால், முதல் படத்தில் காட்டியபடி நிஜமான மேப்பில் உள்ள பாலங்களை, (அ)வில் இருந்து (ஆ) வழியாக (இ)க்கு மாற்றினாலும் புதிர் அப்படியேதான் இருக்கும். (அ)விற்கு பதில் (இ)படத்தில் இருக்கும் கிராஃப் (வரைகோல) படத்திற்கு விடையே புதிருக்கான விடை. முதல் படத்தில் (இ)யை மட்டும் பெரிதாக்கி கீழே கொடுத்துள்ளேன்.

கோனிங்ஸ்பெர்க் பாலங்கள் புதிரை எளிமையான புரிதலுக்கு உட்படுமாறு செய்து ஒரு தாளுக்குள் அடங்கும் புள்ளிகளை சேர்க்கும் வரைகோலமாக பார்க்கையில் இப்படிக் கேட்கலாம்: ABCD என்ற இந்த நான்கு உச்சிப்புள்ளிகளையும் (வெர்டெக்ஸுகளையும்) இணைக்கும் ஏழு வளைகோடுகளையும் தாளிலிருந்து கையை எடுக்காமல், ஒரே தடவை மட்டும் வரைந்து (ஏற்கனவே வரைந்த கோடுகளின் மீது மீண்டும் செல்லாமல்) பூர்த்தி செய்ய முடியுமா?

ஆய்லரின் பதில்: முடியாது.

இதைப்பற்றி யோசிக்கையில் ஆய்லர் வரைகோலங்களின் சில  பொதுவான பண்புகளை கண்டுணர்ந்தார். வரைகோலத்தில் ஒரு உச்சிப்புள்ளியில் ஒன்று, மூன்று என்று வளைகோடுகள் வந்தடைந்தால், அது ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளி (odd வெர்டெக்ஸ்). இரண்டு, நான்கு என்று வளைகோடுகள் வந்தடைந்தால், இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகள் (even வெர்டெக்ஸ்). ஆய்லர் முதலில் கண்டுணர்ந்தது, இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளால் மட்டும் ஆன வரைகோலங்களை தாளில் மொத்தமாக வரைந்து, ஆரம்பித்த இடத்திற்கே கையை எடுக்காமல் மீண்டும் வர முடியும் என்பதே.

அதேபோல இரண்டு ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகள் மட்டும் கொண்ட வரைகோலங்களையும் இவ்வாறு வரைய முடியும். தொடங்கிய இடத்திற்கு மட்டும் வர முடியாது (ஆனால் வரைகோலம் முழுவதும் வரைந்து விடமுடியும்).

இவ்வகையில் விடைகளை நீட்சிசெய்துகொண்டே செல்கையில், ஆய்லர் பொதுவாக வரைகோலங்களை பற்றிய ஒரு ஆழ்ந்த உண்மையையும் கண்டார்: ஒரு வரைகோலம் 2n ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளை கொண்டது என்றால் அதை வரைய n தனியான பயணங்கள் வேண்டும்.

அதாவது, இவ்வகை வரைகோலம் ஒன்றை தாளில் வரைகையில் இரண்டு (n = 2) தனியான பயணங்கள் என்றால், ஒரு முறையாவது பென்சிலை தாளைவிட்டு எடுக்க வேண்டும்; மூன்று (n = 3) தனியான பயணங்கள் செய்து வரைகோலத்தை செய்யமுழுவதும் வரைய, இரண்டு முறையாவது பென்சிலை தாளைவிட்டு எடுக்க வேண்டும். புரியும் என்று நினைக்கிறேன்.

இப்போது நம் கோனிங்ஸ்பெர்க் பாலங்களுக்கு வாருங்கள். இதற்குச் சமமான மேலே காட்டப்பட்டுள்ள வரைகோலத்தில் அனைத்து உச்சிப்புள்ளிகளும் ஒற்றைப்படையே (உதாரணம்: A – 3; B – 5). ஆகவே இந்த வரைகோலத்தை மொத்தமாக வரைவதற்கு 2n = 2 x 2; அதாவது, 2 தனியான பயணங்கள் தேவை. ஒரே தடவை தாளில் பயணித்து, கையை (பென்சிலை தாளிலிருந்து) எடுக்காமல் இப்படத்தை போட முடியாது.

கோனிங்ஸ்பெர்கின் ஏழு பாலங்களையும் ஒரு முறை மட்டும், ஒரே பயணத்தில் கடந்து செல்ல முடியாது.

*****

பின் எப்படித்தான் ஏழு பாலங்களையும் கடப்பது என்ற கேள்விக்கு சுலபமாக ஒரு பதிலையும் கூறினார் ஆய்லர். என்ன அது? ஏழு பாலங்களையும் ஒரே நடையில் கடக்க எட்டாவது பாலம் ஒன்றை அமைத்தால் போதும். விளையாட்டில்லை, படத்தில் பாருங்கள்

எட்டாவதாக, ACஐ இணைப்பதுபோல ஒரு பாலம் அமைத்தால் போதும். நான்கு உச்சிப்புள்ளிகளில் இரண்டு (Aவும் Cயும்), இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளாக மாறிவிடும். மிச்ச இரண்டு முன்போல் ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளாய் இருக்கும். ஆனால், ஆய்லர் ஏற்கனவே கண்டுணர்ந்தது போல எட்டுப்பாலங்கள் அடங்கிய இந்த வரைகோலம் இரண்டு ஒற்றைப்படை உச்சிப்புள்ளிகளை கொண்டுள்ளதால் இதற்கு 2n = 2 x 1; எனவே ஒரு தனியான பயணம் போதும். இதை கையை எடுக்காமல் வரைய முடியும். என்ன, ஆரம்பித்த இடத்திற்கே முடிக்கையில் மீண்டும் வரமுடியாது. உதாரணத்திற்கு, Bயில் தொடங்கினால் Dயில் முடிப்போம், Dயில் தொடங்கினால் Bயில் முடிப்போம். செய்து பாருங்கள்.

எட்டு வேண்டாம், ஏழு பாலங்களை மட்டும் வைத்து விடைகாணவே முடியாதா என்றால், முடியும். முதல் படத்தில் உள்ள BDக்கு குறுக்காக உள்ள பாலத்தை நீக்கிவிட்டு, அந்த ஏழாவது பாலத்தை ACக்கு குறுக்காக போட்டுவிட்டால், முடியும். இப்படி செய்வதால் அனைத்து உச்சிப்புள்ளிகளும் இரட்டைப்படை உச்சிப்புள்ளிகள் ஆகிவிடுமல்லவா.

கையை எடுக்காமல் தாளில் மேலே உள்ள படத்தை போட்டுத்தான் பாருங்களேன். நிச்சயம் முடியும்.

*****

ஆய்லரின் வரைகோல தாத்பர்யங்கள் பல பண்டைகால புதிர்களின் சாரம்சமும் கூட. உதாரணமாக முகமதீயர்கள், கிறித்துவர்கள், இந்துக்கள், பிதகோரியர்கள், கபாலிஸ்டுகள் என பலராலும் ஒரு வகையில் முக்கியமாக கருதப்படும் இந்த வரைகோலத்தை, கையை எடுக்காமல் போட முடியும்.

ஆனால், அதைவிட எளியது என்று தோன்றும் இதை வரைய கையை ஒருமுறை எடுக்க வேண்டும்.

நீட்சியாக, மிகவும் கடினமோ என்று பார்வைக்கு தோன்றும் இதை வரைய கையை எடுக்க வேண்டாம். முயன்று பாருங்கள்.

விடையை பின்னூட்டத்தில் தெரிவியுங்கள் (நீங்கள் வரைந்த உச்சிப்புள்ளிகளின் ஆங்கில எழுத்து வரிசையை தெரிவித்தால் போதும்; AFJK… என்பது போல). சரியான விடையை சொல்பவர்களுக்கு, அவர்கள் எந்த அறிவியல் விஷயத்தை பற்றி எழுதச்சொல்கிறார்களோ அதை (எனக்குத் தெரிந்தவரை) இத்தளத்தில் எழுதுகிறேன் என்று கூறி சைபர்-பேரிகைகள் முழங்க இன்றே பரிசளிக்கிறேன்.

*****

கோனிங்ஸ்பெர்கின் ஏழு பாலங்கள் வரைகோல புதிர் டோப்பாலஜியாகவும், கிராஃப் தியரியாக விரிந்து இன்று பலவாறாக உபயோகப்படுகிறது. இதன் டோப்பாலஜி பயன்கள் பற்றி முன் கட்டுரையில் பார்த்தோம். ஆப்டிமைசேஷன் தியரியில் டிராவலிங் சேல்ஸ்மேன் கணக்கு (விக்கிப்பீடியா பக்கம்) என்று ஒன்று உள்ளது. மெடிக்கல் ரெப்ரசென்டேடிவ் ஒருவர் ஒன்றிற்கொன்று வெவ்வேறு தொலைவுகளில் இருக்கும் பல நகரங்களை அடைந்து மாத்திரை விற்க வேண்டும் என்றால், எப்படி குறைவான பயண தூரத்தை முன்னரே கண்டுகொள்வது என்பது இந்த கணக்கின் சாராம்சம். அப்ளைடு மாத்தமாட்டிக்ஸ் சார்ந்த துறைகளில் தடுக்கி விழுந்தால் இவ்வகை கணக்கிற்கு பல ரூபங்களில் பல நாமகரணங்கள் சூட்டி சிலாகித்து கிராஃப் தியரியும் ஆப்டிமைசேஷன் அல்காரிதங்களும் கொண்டு பிஎச்டி செய்து தீர்வுகண்டு உவகை எய்துவது இன்றைய தின நிகழ்வு.

ஆய்லரின் இதே கிராஃப் தியரியை சற்று மாறிப்போட்டு ஒன்றுக்கொன்று பொதுவான எல்லைகள் உடைய தேசங்கள் (அல்லது மாநிலங்கள்) அடங்கிய வரைபடத்திற்கு குறைந்த நிறங்களை கொண்டு குழப்பம் வராமல் கலர் அடிப்பது எப்படி என்பது போன்ற சுவையான புதிர்களும், விடைகளும் இருக்கிறது. பிரிதோர் சமயம் பார்ப்போம்.

ஆறுகட்ட பிரிவும் எர்டாஸ் எண்ணும் என்ற கட்டுரையில் விளக்கிய ஸ்மால் வோர்ல்ட் நெட்வொர்க் சமாசாரத்தையும், இங்கு விவரித்துள்ள கிராஃப் தியரியையும் இணைத்து, மூளையின் நெட்வொர்குகள் எப்படி வேலை செய்கிறது என்பதை விளக்க ஒரு ஆராய்ச்சி கட்டுரை 2007இல் வெளிவந்துள்ளது. ஆங்கில வடிவம் இலவசமாக இங்கு உள்ளது http://www.nonlinearbiomedphys.com/content/1/1/3 மேட்டர் என்ன என்று இன்னொரு சமயம் படித்துவிட்டு விளக்குகிறேன் (எனக்கு இப்போது அயோமயமாகத்தான் புரிகிறது).

வீட்டுவாசலை தினமும் காலையில் பெருக்கி சுத்தம் செய்து நீர் தெளித்து சாணம்மொழுகி முப்பதுக்கு முப்பது புள்ளிவைத்து காலால் மிதித்துவிடாமல் அதேசமயம் ஒருபுள்ளியையும் மிச்சம் வைக்காமல் சடுதியில் நெளிநெளியாய் மாக்கோலம் போடும் அறிவார்த்த பெண்டீருடன் புழங்கும் நமக்கொன்றும் கற்றுக்கொள்ள ஆயிலரின் வரைகோல கணிதவியல் கடினமல்ல. ஆயிலர் 1735இல் தோற்றுவித்த இடவியலும், வரைகோலவியலும் ஒருநாள் நம் ஊர் பள்ளிப் பாடத்தில் வருகையில், நம் சந்ததியினர் மெதுவடையையும், புள்ளிக்கோலங்களையும் தொலைத்துவிட்டிருக்கலாம்.